[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49 (1002ﾚｽ)
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443(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)20:25 ID:Nk0YN5V9(2/11)調 AAS
>>440 補足
>だから君の言う得られる結果の例にはディオファントス方程式の近似であるトゥエは含まれないだろって
繰返す
ABC予想から得られる結果の例に、”トゥエ＝ジーゲル＝ロスの定理 代数的数のディオファントス近似に関する定理”
含まれているよね！！（下記の通り）（＾＾
(>>420)
https://ja.wikipedia.org/wiki/ABC%E4%BA%88%E6%83%B3
ABC予想
得られる結果の例
abc予想を真だと仮定すると多数の系が得られる。その中には既に知られている結果もあれば（予想の提出後に予想とは独立に証明されたものもある）
トゥエ＝ジーゲル＝ロスの定理
代数的数のディオファントス近似に関する定理
(>>440-441)
https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture
abc conjecture
3 Some consequences
・Roth's theorem on diophantine approximation of algebraic numbers.[5]
[5] Bombieri, Enrico (1994). "Roth's theorem and the abc-conjecture". Preprint. ETH Zurich.
http://swc.math.arizona.edu/aws/1998/98Frankenhuysen.pdf
THE ABC CONJECTURE IMPLIES ROTH’S THEOREM AND MORDELL’S CONJECTURE
MACHIEL VAN FRANKENHUYSEN
1. Introduction
In 1991, Noam D. Elkies showed that the ABC conjecture implies Mordell’s
conjecture [5]. And in 1994, Enrico Bombieri showed that the ABC conjecture
implies Roth’s theorem about Diophantine approximation of algebraic numbers [3].
The proofs of these two implications are very similar (see §§6.4, 6.7), and in §6.8,
we formulate a theorem that implies both Roth’s theorem and Mordell’s conjecture.
444(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)20:43 ID:Nk0YN5V9(3/11)調 AAS
>>436
>だから君の言う得られる結果の例にはディオファントス方程式の近似であるトゥエは含まれないだろ
そうか！
おぬし、下記 ディオファントス方程式の ”トゥエ方程式 f (x, y) = k （f (x, y) は3次以上の斉次既約多項式）”と
>>443 ”トゥエ＝ジーゲル＝ロスの定理 代数的数のディオファントス近似に関する定理”とを
混同したのかな？ どちらも”トゥエ”が冠されているけどな。別ものだろ！？（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%AA%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%82%B9%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
ディオファントス方程式
特殊例
ディオファントス方程式の特殊例には以下のようなものがある。
楕円曲線 y2 = f (x) （f (x) は重根をもたない、3次または4次の多項式）
数論の中心的課題の一つである。とくに有理数解についての構造定理（モーデルの定理）がある。整数解は有限個しか存在せず、原理的には全ての整数解を求めることが可能。有限体上の楕円曲線の構造も考察されており、暗号理論などに応用されている。
トゥエ方程式 f (x, y) = k （f (x, y) は3次以上の斉次既約多項式）
整数解は有限個しか存在せず、原理的には全ての整数解を求めることが可能。この曲線の次数が3ならば楕円曲線と双有理同値になる。次数が4以上ならば、ファルティングスの定理により、有理数解も有限個しか存在しないが、それを全て求めることができるとは限らない。
課題
現在では、すべての方程式について整数範囲での一般解法は存在しないことが証明されている。整数解の存在判定に限定しても、9変数の一般的判定法が存在しないことがすでに証明されている。2変数の一般的判定法も未知である（種数1の場合、および yk = f (x) の形の方程式については原理的には判定可能である）。また、有理数範囲での一般的判定方法が存在するかどうかも未知である。
つづく
451: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)23:19 ID:Nk0YN5V9(10/11)調 AAS
>>443
>[5] Bombieri, Enrico (1994). "Roth's theorem and the abc-conjecture". Preprint. ETH Zurich.
Bombieri, Enrico は、ちょっと有名な人
1974年フィールズ賞を受賞か
なるほどね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%83%AA%E3%82%B3%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%83%B3%E3%83%93%E3%82%A8%E3%83%AA
エンリコ・ボンビエリ （Enrico Bombieri, 1940年11月26日 - ）はイタリアの数学者。プリンストン高等研究所IBMフォン・ノイマン教授。 専門は数論と解析学。（解析数論、代数幾何学、複素解析、偏微分方程式など。）
素数分布論で大きな貢献。その結果からボンビエリの大きな篩法を生み出した。 多変数複素関数論、極小曲面における偏微分方程式論、高次元ベルンシュタイン問題の解決における貢献。 単葉関数における局所ビーベルバッハ予想の解決。などにより1974年フィールズ賞を受賞。
https://en.wikipedia.org/wiki/Enrico_Bombieri
Enrico Bombieri
Enrico Bombieri (born 26 November 1940) is an Italian mathematician, known for his work in analytic number theory, Diophantine geometry, complex analysis, and group theory. He won a Fields Medal in 1974.[5] Bombieri is currently Professor Emeritus in the School of Mathematics at the Institute for Advanced Study in Princeton, New Jersey.[6]
459: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/14(水)10:26 ID:WB0JVdoR(2/6)調 AAS
>>443より
http://swc.math.arizona.edu/aws/1998/98Frankenhuysen.pdf
THE ABC CONJECTURE IMPLIES ROTH’S THEOREM AND MORDELL’S CONJECTURE
MACHIEL VAN FRANKENHUYSEN
これ結構面白いわ（＾＾
(抜粋)
1. Introduction
in §5, we formulate Mordell’s conjecture and ‘effective Mordell’. §6.3 is devoted
to Bely??’s construction of an algebraic function which is ramified over 0, 1 and ∞
alone [1]. The application of this construction to P1
yields Roth’s theorem, §6.4,
and the application to a curve C of genus 2 or higher yields Mordell’s conjecture,§6.7.
Both Roth’s theorem and Mordell’s conjecture are theorems, see [10, 16] and
[2,4,6,7,21] respectively, and from this point of view it seems uninteresting to have
conditional proofs of these theorems, depending on the ABC conjecture, whose
validity is still unknown. However, the proofs of these theorems using ABC are
much simpler and transparent, and point out very clearly the relationship between
the theory of Diophantine approximation and the theory of points on curves of high
genus. More importantly, using ABC, one can prove considerably stronger versions
of the two theorems. Specifically, ABC implies effective Mordell (see §5.1), and a
certain stronger form of the ABC conjecture implies a certain refinement of Roth’s
theorem (see §4.1).
(引用終り)
以上
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