Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49

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441(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)18:18 ID:t1UkFUbE(5/5)調 AAS
>>440
つづき

1. Introduction
In 1991, Noam D. Elkies showed that the ABC conjecture implies Mordell’s
conjecture [5]. And in 1994, Enrico Bombieri showed that the ABC conjecture
implies Roth’s theorem about Diophantine approximation of algebraic numbers [3].
The proofs of these two implications are very similar (see §§6.4, 6.7), and in §6.8,
we formulate a theorem that implies both Roth’s theorem and Mordell’s conjecture.
We formulate the ABC conjecture in §2. In §2.4, we introduce the ‘type function’,
which allows us to formulate certain stronger forms of the ABC conjecture.

https://en.wikipedia.org/wiki/Roth%27s_theorem
Roth's theorem

Roth's theorem is a fundamental result in diophantine approximation to algebraic numbers. It is of a qualitative type, stating that algebraic numbers cannot have many rational number approximations that are 'very good'. Over half a century, the meaning of very good here was refined by a number of mathematicians, starting with Joseph Liouville in 1844 and continuing with work of Axel Thue (1909), Carl Ludwig Siegel (1921), Freeman Dyson (1947), and Klaus Roth (1955).

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%82%A5%E3%82%A8%E3%83%BB%E3%82%B8%E3%83%BC%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
トゥエ・ジーゲル・ロスの定理

トゥエ・ジーゲル・ロスの定理（英: Thue?Siegel?Roth theorem）、あるいは単にロスの定理 (Roth's theorem) は、代数的数に対するディオファントス近似における基本的な定理である。定量的な定理であり、与えられた代数的数 α が「非常に良い」有理数近似をそれほど多くは持たないかもしれないというものである。半世紀以上に渡って、この「非常に良い」の意味は多くの数学者によって改良されていった。はじめは1844年にジョゼフ・リウヴィルによって、そして Axel Thue (1909), Carl Ludwig Siegel (1921), Freeman Dyson (1947), Klaus Roth (1955) らの仕事が続いた。
(引用終り)
以上

443(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)20:25 ID:Nk0YN5V9(2/11)調 AAS
>>440 補足
>だから君の言う得られる結果の例にはディオファントス方程式の近似であるトゥエは含まれないだろって

繰返す

ABC予想から得られる結果の例に、”トゥエ＝ジーゲル＝ロスの定理代数的数のディオファントス近似に関する定理”
含まれているよね！！（下記の通り）（＾＾

(>>420)
https://ja.wikipedia.org/wiki/ABC%E4%BA%88%E6%83%B3
ABC予想
得られる結果の例
abc予想を真だと仮定すると多数の系が得られる。その中には既に知られている結果もあれば（予想の提出後に予想とは独立に証明されたものもある）
トゥエ＝ジーゲル＝ロスの定理
代数的数のディオファントス近似に関する定理

(>>440-441)
https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture
abc conjecture
3 Some consequences
・Roth's theorem on diophantine approximation of algebraic numbers.[5]
[5] Bombieri, Enrico (1994). "Roth's theorem and the abc-conjecture". Preprint. ETH Zurich.

http://swc.math.arizona.edu/aws/1998/98Frankenhuysen.pdf
THE ABC CONJECTURE IMPLIES ROTH’S THEOREM AND MORDELL’S CONJECTURE
MACHIEL VAN FRANKENHUYSEN
1. Introduction
In 1991, Noam D. Elkies showed that the ABC conjecture implies Mordell’s
conjecture [5]. And in 1994, Enrico Bombieri showed that the ABC conjecture
implies Roth’s theorem about Diophantine approximation of algebraic numbers [3].
The proofs of these two implications are very similar (see §§6.4, 6.7), and in §6.8,
we formulate a theorem that implies both Roth’s theorem and Mordell’s conjecture.

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