[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49 (1002ﾚｽ)
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428(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)07:21 ID:Nk0YN5V9(1/11)調 AAS
>>421 誤変換訂正
学歴は、維新さんは、自称東大数学科修士終了というのです
↓
学歴は、維新さんは、自称東大数学科修士修了というのです
>>422
>誰からも相手にされない
現実には、IUTは仏 Lille Universityとか、応援団が結成されている(>>419)
>>424
>ヒルベルトの問10で否定されてるからディオファントス方程式で解決はできないよ
どの予想の話かな？ >ヒルベルトの問10は、下記「一般的な解法は存在しない」であって、個別のディオファントス方程式には個別の解法があっていいと思うよ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE23%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C
ヒルベルトの23の問題
第10問題
詳細は「ヒルベルトの第10問題（英語版）」を参照
ディオファントス方程式の可解性の決定問題
1970年、ユーリ・マチャセビッチが否定的に解決。ディオファントス方程式がどのような場合に整数解を持つかを決定付けるような一般的な解法は存在しないことを示した。
(引用終り)
>>425
同意
>>427
維新さん、ご苦労ｗ（＾＾；
443(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)20:25 ID:Nk0YN5V9(2/11)調 AAS
>>440 補足
>だから君の言う得られる結果の例にはディオファントス方程式の近似であるトゥエは含まれないだろって
繰返す
ABC予想から得られる結果の例に、”トゥエ＝ジーゲル＝ロスの定理 代数的数のディオファントス近似に関する定理”
含まれているよね！！（下記の通り）（＾＾
(>>420)
https://ja.wikipedia.org/wiki/ABC%E4%BA%88%E6%83%B3
ABC予想
得られる結果の例
abc予想を真だと仮定すると多数の系が得られる。その中には既に知られている結果もあれば（予想の提出後に予想とは独立に証明されたものもある）
トゥエ＝ジーゲル＝ロスの定理
代数的数のディオファントス近似に関する定理
(>>440-441)
https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture
abc conjecture
3 Some consequences
・Roth's theorem on diophantine approximation of algebraic numbers.[5]
[5] Bombieri, Enrico (1994). "Roth's theorem and the abc-conjecture". Preprint. ETH Zurich.
http://swc.math.arizona.edu/aws/1998/98Frankenhuysen.pdf
THE ABC CONJECTURE IMPLIES ROTH’S THEOREM AND MORDELL’S CONJECTURE
MACHIEL VAN FRANKENHUYSEN
1. Introduction
In 1991, Noam D. Elkies showed that the ABC conjecture implies Mordell’s
conjecture [5]. And in 1994, Enrico Bombieri showed that the ABC conjecture
implies Roth’s theorem about Diophantine approximation of algebraic numbers [3].
The proofs of these two implications are very similar (see §§6.4, 6.7), and in §6.8,
we formulate a theorem that implies both Roth’s theorem and Mordell’s conjecture.
444(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)20:43 ID:Nk0YN5V9(3/11)調 AAS
>>436
>だから君の言う得られる結果の例にはディオファントス方程式の近似であるトゥエは含まれないだろ
そうか！
おぬし、下記 ディオファントス方程式の ”トゥエ方程式 f (x, y) = k （f (x, y) は3次以上の斉次既約多項式）”と
>>443 ”トゥエ＝ジーゲル＝ロスの定理 代数的数のディオファントス近似に関する定理”とを
混同したのかな？ どちらも”トゥエ”が冠されているけどな。別ものだろ！？（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%AA%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%82%B9%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
ディオファントス方程式
特殊例
ディオファントス方程式の特殊例には以下のようなものがある。
楕円曲線 y2 = f (x) （f (x) は重根をもたない、3次または4次の多項式）
数論の中心的課題の一つである。とくに有理数解についての構造定理（モーデルの定理）がある。整数解は有限個しか存在せず、原理的には全ての整数解を求めることが可能。有限体上の楕円曲線の構造も考察されており、暗号理論などに応用されている。
トゥエ方程式 f (x, y) = k （f (x, y) は3次以上の斉次既約多項式）
整数解は有限個しか存在せず、原理的には全ての整数解を求めることが可能。この曲線の次数が3ならば楕円曲線と双有理同値になる。次数が4以上ならば、ファルティングスの定理により、有理数解も有限個しか存在しないが、それを全て求めることができるとは限らない。
課題
現在では、すべての方程式について整数範囲での一般解法は存在しないことが証明されている。整数解の存在判定に限定しても、9変数の一般的判定法が存在しないことがすでに証明されている。2変数の一般的判定法も未知である（種数1の場合、および yk = f (x) の形の方程式については原理的には判定可能である）。また、有理数範囲での一般的判定方法が存在するかどうかも未知である。
つづく
445: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)20:44 ID:Nk0YN5V9(4/11)調 AAS
>>444
つづき
1900年に提示された「ヒルベルトの23の問題」の第10問題が「ディオファントス方程式の一般的で有限的な可解性判定方法をもとめよ」であったが、これは1970年にロシアの数学者ユーリ・マチャセビッチによって否定的に解決された[1]。（→計算可能性理論）この証明の副産物として、再帰的に枚挙可能な任意の整数の集合（たとえば素数の集合）には、その要素を整数解とするディオファントス方程式が、かならず存在することが証明されている。日本の廣瀬健はマチャセビッチと同時期に独立に部分的解決をしていたとされる。
2変数2次方程式a x2 + b y + c = 0 の整数解の存在判定問題はNP完全問題であることが証明されている。（→計算複雑性理論）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE23%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C
ヒルベルトの23の問題
3.10 第10問題
第10問題
詳細は「ヒルベルトの第10問題（英語版）」を参照
ディオファントス方程式の可解性の決定問題
1970年、ユーリ・マチャセビッチが否定的に解決。ディオファントス方程式がどのような場合に整数解を持つかを決定付けるような一般的な解法は存在しないことを示した。
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_tenth_problem
Hilbert's tenth problem
(引用終り)
以上
446(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)21:10 ID:Nk0YN5V9(5/11)調 AAS
>>444 追加
参考 Hilbert の第 10 問題 解説
http://iso.2022.jp/ iso.2022.jp
http://iso.2022.jp/math/undecidable-problems/ 決定不能問題ギャラリー (Hilbertの第10問題)
http://iso.2022.jp/math/undecidable-problems/files/hilberts-tenth-problem.pdf
Hilbert の第 10 問題
Hilbert’s Tenth Problem
y.*
2018 年 12 月 20 日
最終更新日: 2018 年 12 月 20 日
概要
多変数の多項式を用いて f(x1, . . . , xn) = 0 の形で書ける代数方程式を Diophantus 方程式と呼ぶ．与
えられた Diophantus 方程式が整数解 (x1, . . . , xn が全て整数であるような解) を持つか否かを判定する決
定問題を Hilbert の第 10 問題という．本稿では MRDP 定理と呼ばれる定理の完全な証明を与え，その系
として Hilbert の第 10 問題の決定不能性を示す．さらに，MRDP 定理以降のいくつかの結果も紹介する．
本稿の大部分は MRDP 定理を証明した Matiyasevich 本人による教科書 [1] によっている．
Keywords: Hilbert の第 10 問題 (Hilbert’s tenth problem), Diophantus 方程式 (Diophantine equation), Diophantus 的集合 (Diophantine set), c.e. 集合 (c.e. set), MRDP 定理 (MRDP theorem).
目次
1 導入
6.2 MRDP 定理の内容
7 Hilbert の第 10 問題は決定不能である
つづく
447(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)21:11 ID:Nk0YN5V9(6/11)調 AAS
>>446
つづき
https://sites.google.com/site/sendailogichomepage/files/ref Sendai Logic Homepage 資料ページ
https://sites.google.com/site/sendailogichomepage/files/ref/ref_05
Sendai Logic Homepage
ヒルベルトの第１０問題 （『ヒルベルトの２３問題』(日本評論社 1997)より）
歴史，背景について．
(抜粋)
■ はじめに
“n 個の未知数を含む整数係数の多項式 P(x1,x2,..., xn) に対し，
方程式 P(x1,x2,...,xn) = 0（ディオファントス方程式または不定方程式と呼ぶ）が整数解を持つか否かを有限的に判定する方法をみつけよ”
というのがヒルベルトの第10問題である．
原文でもそれ以上の説明はなく，23の問題の中で一番短い設問である．
ヒルベルトは全体の前書きで，
「道で初めて出会った人にも明確に説明できる」のが良問であると言っているが，
その意味でこれは最良の問題の１つであろう．
また，前書きなどに語られているヒルベルトの数学観
（数学全体を１つの大きな有機体と見，それに関する真理は必ず有限的な手段で把握できるという信念）
を端的に表す出題でもある．
そして，もう一つ重要な点は，
この問題にはその半世紀後に興る計算機科学の萌芽が感じられることである．
第10問題そのものは，1970年に否定的に解決されたが，
その周辺には現在も未解決で，しかも数論や計算機科学の重要問題と関連する話題がたくさんある．
■ フェルマー・ワイルスの定理と第10問題
フェルマーの予想はようやく最近ワイルスによって正しいことが証明されたが，
しかしこのように解の有無がわかるディオファントス方程式はむしろ例外的である．
一般に３変数以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっておらず，
たとえば， x^3 + y^3 + z^3 - 3 = 0 が (1, 1, 1), (4, 4, -5)とその並び換え以外の整数解を持つかどうかはわかっていない．
つづく
448: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)21:11 ID:Nk0YN5V9(7/11)調 AAS
>>447
つづき
■ 第10問題と現在の問題
ディオファントス方程式が実数の範囲で解けるか否かを判定するアルゴリズムは知られている．
どんな体あるいは環でどのようなディオファントス方程式の可解性が判定できるか．．．
問題は果てしなく広がっている．
整数の話を戻ると，マチャセビッチが証明した最良の結果は，
9変数のディオファントス方程式の可解性が判定できないというものである（文献 [3]）．
これを3変数に限ってもやはり判定できないだろうという予想があるが，
もう10年以上進歩が見られずデッドロック状態にある．
2変数についてはベーカーたちが多くの肯定的結果を出しているが，
それでもすべての2変数多項式の可解性が決定したわけではない（文献 [2]）．
最後に，MRDP定理と計算量理論の関係について簡単に触れておこう．
(引用終り)
以上
449(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)23:13 ID:Nk0YN5V9(8/11)調 AAS
>>446 追加
検索すると、下記がヒット。旧ガロアスレで、「ヒルベルトの第10問題」を取り上げ立ていたようですね
（参考）
761: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む36 (679)2ch.vet ? re_ai_math_1499815260_80_100
なお、このインタビュー記事は EMS Newsletter March 2007 (PDF)の中に ... 21世紀の数学は、ユーリ・マニン博士も言っていますが、"量子化"と言う ... マチャセビッチによるヒルベルトの第10問題によって決定不能な命題の例が得られる。
現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む36 (679)2ch.pet ? contents_ai_math_1499815260_all
URLとコピペやPDFの方によほど価値を見いだすスレ主です（＾＾； ... 21世紀の数学は、ユーリ・マニン博士も言っていますが、"量子化"と言うテーマ ... マチャセビッチによるヒルベルトの第10問題によって決定不能な命題の例が得られる。
(引用終り)
「ヒルベルトの第10問題」関連で、素数多項式が有名です
https://enpedia.rxy.jp/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0
素数
素数表現多項式
各変数に0以上の整数を代入すると、必ず素数が得られる数式も存在する。n番目の素数を表せるわけではなく、計算量も多いため、実用性は全くない。ロシアの数学者、ユーリ・マチャセビッチによる「マチャセビッチの多項式」が主に知られている。以下はAからZまでの26変数を用いるものであるが、マチャセビッチは19変数のものも考案している。
略
（この数式で表される数が負でないとき、その数は素数である）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0
素数
8 素数生成式
8.1 1変数多項式
8.2 多変数多項式
素数生成式
n 番目の素数を求める素数生成式は存在しないと主張されることがあるが、これは誤りである[18]。ただし、その式はウィルソンの定理を用いたものであり、一般に大きな計算量であることに注意が必要である。
つづく
450: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)23:13 ID:Nk0YN5V9(9/11)調 AAS
>>449
つづき
1変数多項式
オイラーの発見した式：
f(n) = n2 ? n + 41
は、自然数 n が n < 41 で全て素数となる。これは、虚二次体 Q (√{-163}) の類数が 1 であることと関係している[19][20]。一般に、0 ? n < p で多項式 f(n) = n2 ? n + p が素数の値を取るとき、素数 p の値を「オイラーの幸運数」[21] という。オイラーの幸運数は p = 2, 3, 5, 11, 17, 41 の6つのみであり、これらはすべてヘーグナー数と対応する。
多変数多項式
多変数の多項式では、全ての素数を生成することができる式がいくつか知られている。例えば、k + 2 が素数となる必要十分条件は、次のディオファントス方程式が自然数解を持つことである[22]：
(引用終り)
以上
451: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)23:19 ID:Nk0YN5V9(10/11)調 AAS
>>443
>[5] Bombieri, Enrico (1994). "Roth's theorem and the abc-conjecture". Preprint. ETH Zurich.
Bombieri, Enrico は、ちょっと有名な人
1974年フィールズ賞を受賞か
なるほどね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%83%AA%E3%82%B3%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%83%B3%E3%83%93%E3%82%A8%E3%83%AA
エンリコ・ボンビエリ （Enrico Bombieri, 1940年11月26日 - ）はイタリアの数学者。プリンストン高等研究所IBMフォン・ノイマン教授。 専門は数論と解析学。（解析数論、代数幾何学、複素解析、偏微分方程式など。）
素数分布論で大きな貢献。その結果からボンビエリの大きな篩法を生み出した。 多変数複素関数論、極小曲面における偏微分方程式論、高次元ベルンシュタイン問題の解決における貢献。 単葉関数における局所ビーベルバッハ予想の解決。などにより1974年フィールズ賞を受賞。
https://en.wikipedia.org/wiki/Enrico_Bombieri
Enrico Bombieri
Enrico Bombieri (born 26 November 1940) is an Italian mathematician, known for his work in analytic number theory, Diophantine geometry, complex analysis, and group theory. He won a Fields Medal in 1974.[5] Bombieri is currently Professor Emeritus in the School of Mathematics at the Institute for Advanced Study in Princeton, New Jersey.[6]
452(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/13(火)23:28 ID:Nk0YN5V9(11/11)調 AAS
>>444 補足
>”トゥエ＝ジーゲル＝ロスの定理
Roth(ロス)先生も、フィールズ賞 1958年だった
昔は、牧歌的だったようだね〜（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%92%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%82%B9
クラウス・フリードリッヒ・ロス
クラウス・フリードリッヒ・ロス（Klaus Friedrich Roth、1925年10月29日 - 2015年11月10日）は、ドイツ出身のイギリスの数学者。ディオファントス近似や不規則偏差理論の研究などで知られる。当時ドイツ領だったブレスラウ（現在はポーランドの都市ヴロツワフ）で生まれ、イギリスで育った。1945年にハロルド・ダヴェンポートの下でケンブリッジ大学のピーターハウス（英語版）を卒業した。
1952年、自然数の有限密度部分集合は無数の長さ3の等差数列を含むことを証明し、今日セメレディの定理（英語版）として知られているものを作り上げた。彼の最終的な結論は、今日Thue?Siegel?Rothの定理として知られているものにまとめられ、1955年にユニヴァーシティ・カレッジ・ロンドンでの講義で発表された。彼は1958年にフィールズ賞を受賞した。1961年に教授となり、1966年に学長としてインペリアル・カレッジ・ロンドンへ移り、1988年まで務めた。
受賞など
1958年 - フィールズ賞
(引用終り)
以上
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ぬこの手 ぬこTOP 1.993s*