[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 (548ﾚｽ)
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7(8): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/18(土)10:16 ID:ywyns0bH(6/11)調 AAS
なお、時枝ｗ
＜転載＞
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 47
2chｽﾚ:math
583 自分：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 投稿日：2020/06/06(土) 09:46:06.53 ID:SrYikU2t [5/10]
(参考：>>370より)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む80
2chｽﾚ:math
(抜粋)
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」
(引用終り)
＜証明＞
勝つ戦略はありません！
一目ですｗ（＾＾；
QED！！
8(13): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/18(土)10:19 ID:ywyns0bH(7/11)調 AAS
>>7
前スレより
2chｽﾚ:math
「反例の存在証明」
＜まず確認＞
１．箱への数の入れ方は、「どんな実数を入れるかはまったく自由」である
２．したがって、”独立同分布である i.i.d. IID”（下記）で、箱に数を入れることは可能
３．時枝記事の”勝つ戦略”なるものは
「ある1つの箱を残して、他の箱を全て開けることを許せば、
その1つの箱の実数を 確率99％（あるいは確率1-ε（εは任意に小さく取れる））で的中できる」
ということだった
＜反例証明＞
１．”独立同分布 i.i.d. IID”で、箱に数を入れるとする
（可算無限個の確率変数を扱うことは、大学レベルの確率論＆確率過程論の射程内である）
２．IIDとして、サイコロで箱に数を入れれば、的中確率は1/6である
どの箱も例外無し。どの1つの箱も 確率99％にならないので、反例となる
３．区間[0,1]の一様分布から、任意の実数を選んで IIDで 数を入れる
ルベーグ測度では区間[0,1]の１点ｒ( 0 =< r =< 1 ) の測度は0（∵零集合）で、的中確率0
これも、反例となる
QED
（補足：”独立”だから、問題の箱以外を開けても、問題の箱の確率には 何ら影響しない。サイコロなら1/6、区間[0,1]の一様分布内の１点ｒなら的中確率0）
ｗ（＾＾；
この「反例証明」が分からないのは、小学生レベルの”数学落ちこぼれ”ｗｗ
（参考）
https://www.practmath.com/iid/
実用的な数学を
2019年6月20日 投稿者: TAKAN
独立同分布である i.i.d. IID
(抜粋)
|| 同じ分布のデータは互いに不干渉だよ
これは「確率変数を別々に扱えるよ」という『仮定』です。
これが仮定されていると、非常に計算がしやすくなります。
相関を考えなくて良いので、共分散などを使う必要がありません。
なにせ条件付き確率の発想から分かる通り、独立性は特別なものです。
といっても、そうそうおかしなことにはならないわけですけど。
(引用終り)
18: 2020/07/18(土)17:57 ID:MUPMdT1w(1/3)調 AAS
84スレ
2chｽﾚ:math
に、ここの>>7-10を抜粋引用の上、徹底的に反駁してやったので読めｗ
92(9): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/02(日)16:49 ID:NrBYtRST(2/8)調 AAS
>>90 補足
時枝記事(>>7 ご参照）では
決定番号dなるものを使う
１．決定番号dの範囲は、有限では収まらない。1〜∞ を渡る
２．時枝のキモは、ある有限のＤをうまく選ぶと、確率99/100で、D >= d とできるというもの
３．もし、決定番号dが、正規分布のように、dの大きなところで、早く減衰して、d→∞ で その頻度が0になる場合は、正則分布になり、確率計算は正当化できる
４．一方、時枝記事の決定番号dは、減衰しない。だから、非正則分布になり、確率測度として正当化できず、確率計算に使えない（∵確率の和を1に出来ないなど）
卑近な例では、>>90で説明したような、試験の点数で 点数の上限がなく、いくらでも高得点者が居るような場合
ある有限のＤ点を基準として、それより点数に低い人は何パーセントと言っても、いくらでも高得点者が居るような場合は、確率計算に乗りませんね
５．それを、数学的にきちん詳しくと論じているのが、mathoverflowの二人の数学Drです
（>>28より再録）
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice Denis氏 Dec 9 '13
(抜粋)
answered Dec 9 '13 at 17:37 Math Dr. Tony Huynh氏
・・・If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes, then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision, but such a measure doesn't exist.
(引用終り)
Math Dr. Tony Huynh氏も分かっている
”If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes, then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision, but such a measure doesn't exist.”
つまり
”If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes”が実現できれば なのだが
'uniform' measure＝一様分布 （「一様分布」は、>>67の非正則事前分布の説明に出てくるね）
つづく
140(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/09(日)08:24 ID:QmjvhqAQ(2/7)調 AAS
>>139 補足
さて、時枝をもう少し具体例に落として、考えてみよう
(>>7 時枝記事（数学セミナー201511月号の記事）ご参照)
(>>37の)フレシェフィルターによる、時枝の可算無限数列のシッポの同値類
（これだけでは何も新しいことは言えないが、考察の手がかりには なる）
１）簡単に２つの可算無限数列x,yで考えよう
いま、具体例として、無理数の無限小数展開の小数部分を考える
10進で、各桁は0〜9の数で、この可算無限数列が得られる
（例えば、π＝3.14159 26535 89793・・で、小数点以下の”14159 26535 89793・・”を考えるってこと）
２）フレシェフィルターは、これだけでは何も言えないが、超準解析（ノンスタとも）と繋がっているところが良いね
”14159 26535 89793・・”の時枝の同値類を考える
例えば、先頭の有限部分を変えた ”x1,x2,x3,x4, 9 26535 89793・・”などは、その例だ（x1,x2,x3,x4・・・などは任意の実数で可）
これらで、数列xとその同値類を考える
３）さて、時枝さんのやっていることは、別の数列yから、ある有限の決定番号dyを得て
問題の数列xの決定番号dxとの比較で、dx < dy となっていれば、勝ち
つまり、数列xにおいて、dy+1番目より大きいシッポの数を知って、数列xの代表からdy番目の数列xの数が的中できるという
４）ところが、>>130で書いたように、決定番号はその分布が非正則。つまり、コルモゴロフの確率の公理を満たすことができない
だから、P(dx < dy)=1/2 (つまり確率1/2) という計算が正当化されない
５）フレシェフィルターに戻ると、x1,x2,x3,x4・・・などは、上記のように別に 10進の 0〜9 に限らない。任意の実数で良いのだ
とすると、代表のdy番目の数は、「0〜9 に限らない 任意の実数」となっている可能性が大
そういうことを、確率計算に折り込む必要があるが、それも難しい（不可能でしょ）
６）ここらを批判しているのが、mathoverflowでの二人の数学Dr Alexander Pruss 氏と Tony Huynh氏です！(>>92 ご参照)
以上
つづく
169(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/09/12(土)17:41 ID:cnqeiEp4(1)調 AAS
>>160 補足
時枝(>>7)が成立しないことは、大学教程の確率論・確率過程論を、学んだ人にはすぐ分かる
呪文は、IID（独立同分布）（>>8-9）！
１．独立だから、問題の箱以外を開けても、問題の箱とは無関係
２．同分布だから、どの箱も、別の確率になることはない
さらに、おかしなこと
１．箱の数として、ある確率現象を考える。コイントスの0，1なら確率1/2
サイコロで1〜6の数なら確率1/6
閉区間[0,1]の一様分布の実数１点的中は、確率0（∵零集合だから）
２．ところが、時枝さんの方法では、確率現象の依存性が消えてしまっている
どんな確率現象でも、一律99％。これはおかしい
なぜ、こんなおかしな事が？
それは、思わず知らず 非正則な分布の上で、確率計算をしてしまっているから(>>160)です（＾＾
195(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/09/22(火)12:14 ID:qkl/9znF(2/2)調 AAS
>>188 再録
(引用開始)
１．不成立の証明は、反例を一つ提示すれば、終わる
時枝に対し、IID（独立同分布）（>>8-9）が、反例になる
それで、証明は終わっている
・独立だから、他の箱を開けてもだめ
・同分布だから、サイコロを使えば、確率1/6にしかならない。99/100にはならない
(引用終り)
（>>169より）
時枝(>>7)が成立しないことは、大学教程の確率論・確率過程論を、学んだ人にはすぐ分かる
呪文は、IID（独立同分布）（>>8-9）！
１．独立だから、問題の箱以外を開けても、問題の箱とは無関係
２．同分布だから、どの箱も、別の確率になることはない
さらに、おかしなこと
１．箱の数として、ある確率現象を考える。コイントスの0，1なら確率1/2
サイコロで1〜6の数なら確率1/6
閉区間[0,1]の一様分布の実数１点的中は、確率0（∵零集合だから）
２．ところが、時枝さんの方法では、確率現象の依存性が消えてしまっている
どんな確率現象でも、一律99％。これはおかしい
なぜ、こんなおかしな事が？
それは、思わず知らず 非正則な分布の上で、確率計算をしてしまっているから(>>160)です（＾＾
203(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/01(木)15:15 ID:7fZLD5Mp(1/2)調 AAS
再録
(引用開始)
１．不成立の証明は、反例を一つ提示すれば、終わる
時枝に対し、IID（独立同分布）（>>8-9）が、反例になる
それで、証明は終わっている
・独立だから、他の箱を開けてもだめ
・同分布だから、サイコロを使えば、確率1/6にしかならない。99/100にはならない
(引用終り)
（>>169より）
時枝(>>7)が成立しないことは、大学教程の確率論・確率過程論を、学んだ人にはすぐ分かる
呪文は、IID（独立同分布）（>>8-9）！
１．独立だから、問題の箱以外を開けても、問題の箱とは無関係
２．同分布だから、どの箱も、別の確率になることはない
さらに、おかしなこと
１．箱の数として、ある確率現象を考える。コイントスの0，1なら確率1/2
サイコロで1〜6の数なら確率1/6
閉区間[0,1]の一様分布の実数１点的中は、確率0（∵零集合だから）
２．ところが、時枝さんの方法では、確率現象の依存性が消えてしまっている
どんな確率現象でも、一律99％。これはおかしい
なぜ、こんなおかしな事が？
それは、思わず知らず 非正則な分布の上で、確率計算をしてしまっているから(>>160)です（＾＾
（積分範囲が、∞になる場合は、裾が1/xつまり、指数でいえば-1乗よりも早く減衰しないと、積分値は発散します。下記 裾の重い分布などご参照）
なお、（>>183より再録）時枝の記事の後半で、おかしなことが書いてある
１）数列のシッポだから、ビタリ風の非可測集合と即断しているが、そもそも可算無限次元のR^∞には、計量が入らない（自乗総和が無限大に発散する）
計量を入れるなら、ヒルベルト空間などに制限する必要があるが、そこの問題ではない
時枝戦略の本質的問題点は、決定番号の分布が非正則分布になり、確率計算ができないことにある
２）確率変数の独立の定義に、イチャモンつけている
しかし、「確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立， と定義される」という表現は、コンパクト性定理でも使われている表現で、まっとうなものです
（下記 渕野 などご参照）
時枝氏の書いていることは、ちょっと変です
結局、時枝記事の戦略は成り立ちません！
つづく
542(1): 2022/01/28(金)14:34 ID:OCJDS5eR(1)調 AAS
転載しておく
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 64
2chｽﾚ:math
594 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/01/28(金) 07:44:33.71 ID:341TuiYA
>>7 追加
> ”（スレ55 2chｽﾚ:mathより）
> ＜上昇列 ０＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない
> ことも分からん「考えなしの素人」に数学はムリ”
反例が見つかった（下記）ｗ
下記のOrdinal arithmetic
・Addition で、... < 0'
・Multiplicationで、... < 01
・Exponentiationで、... < (0,1)
ｗｗｗ
https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_arithmetic
Ordinal arithmetic
Addition
The first transfinite ordinal is ω, the set of all natural numbers. For example, the ordinal ω + ω is obtained by two copies of the natural numbers ordered in the usual fashion and the second copy completely to the right of the first. Writing 0' < 1' < 2' < ... for the second copy, ω + ω looks like
0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ...
This is different from ω because in ω only 0 does not have a direct predecessor while in ω + ω the two elements 0 and 0' do not have direct predecessors.
Multiplication
Here is ω・2:
00 < 10 < 20 < 30 < ... < 01 < 11 < 21 < 31 < ...,
which has the same order type as ω + ω.
Exponentiation
For instance, ω^2 = ω・ω using the operation of ordinal multiplication. Note that ω・ω can be defined using the set of functions from 2 = {0,1} to ω = {0,1,2,...}, ordered lexicographically with the least significant position first:
(0,0) < (1,0) < (2,0) < (3,0) < ... < (0,1) < (1,1) < (2,1) < (3,1) < ... < (0,2) < (1,2) < (2,2) < ...
Here for brevity, we have replaced the function {(0,k), (1,m)} by the ordered pair (k, m).
(引用終り)
以上
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