[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 (548ﾚｽ)
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334(2): 2021/11/14(日)20:42 ID:LFoQx2jW(1/2)調 AAS
「実無限」と「可能無限」
まあ、これでも
https://mathsoc.jp/publication/tushin/2104/2016sunada.pdf
数学の発展と展望?
明治大学総合数理学部
砂田 利一
?この文章は 2016 年 9 月 19 日に関西大学で行った日本数学会 70 周年記念講演に基づいている．
2 無限の概念
ここで，カントルの理論の背景にある，無限概念についての歴史を振り返ろう．集合
論を「血と肉」としている我々数学者にとって，今更「無限」についての特別な感興が
呼び起こされることはほとんどない．すなわち，それほど現代数学は集合概念に依存し，
初めから概念が用意されていたかの如く，我々は無限というものに慣れ親しんでいるの
である．しかし，無限概念に対する数学者と哲学者の態度には，時代に応じた違いが見ら
れる．一言で言えば，古代ギリシャの伝統を引き継いだヨーロッパの文化的環境が，（時
代は移るものの）無限に関する考察を深化させ，最終的にはカントルの理論に至ったのである．
無限を最初に扱ったのは，古代ギリシャのアナクシマンドロス（前 610 頃?前 546 頃）
である．彼は「アペイロン」（限りがない）という概念を導入し，それを万物の根源（ア
ルケー）とした．その後アナクサゴラス（前 510 頃?前 428 頃）により「無限大，無限小」
について語られたが，19 世紀後半まで歴史の中で大きな影響を与えたのはアリストテレ
ス（前 384?前 355）である．彼は，無限には「実無限」と「可能無限」の 2 種類があっ
て，可能無限は認められるが，実無限は存在しないと考えた．カントルの集合論は，ま
さにアリストテレスに対するアンチテーゼなのである．
念のため，「実無限」と「可能無限」の意味を与えておく．
可能無限：無限を把握出来るのは，限りがないということを確認する操作が
存在していることだけで，無限全体というのは認識出来ないとする立場
実無限：無限の対象の全体性を把握して，無限が実際に存在しているとする立場
つづく
335: 2021/11/14(日)20:42 ID:LFoQx2jW(2/2)調 AAS
>>334
つづき
例えば，自然数は，1, 2, 3, 4, ・ ・ ・ というように，順に数え上げていくことで認識され
る対象であるというのが可能無限的考え方であって，他方，自然数全体の集まりを一挙
に認識し，それを例えば記号 Z で表すというのが実無限的考え方である．
「可能無限」は人間の認識能力の限界の中で確かめられる無限であり，実無限は有限
の存在である人間の及ぶところではない超越的な無限と言ってもよい．
(引用終り)
498(2): 2021/11/24(水)00:09 ID:cUOVrA71(2/2)調 AAS
>>497
つづき
いま、下記の砂田利一先生の「実無限」と「可能無限」の意味を少しもじって
可能無限：限りがないという状態で、nに対しn+1（つまり後者）がずっと続く状態
実無限：無限集合N＝ωが出来た状態（例えば無限公理を使って）
としよう
N＝ω＝{0,1,2・・n・・}は、実無限
カッコ{}を外すと、0,1,2・・n・・ は、可能無限
この区別がついていない
0,1,2・・n・・ なる可能無限状態は厳然と存在する。それは、古代ギリシャの昔からね
わざわざ無限公理を使うのは、現代数学が古代ギリシャを超えて進んでいくためです
0,1,2・・n・・ なる可能無限状態が、理解できない人がいる
その人は、現代数学が理解できず、よって古代ギリシャをさえ超えられないことになるよｗ
(>>334より再録)
https://mathsoc.jp/publication/tushin/2104/2016sunada.pdf
数学の発展と展望?
明治大学総合数理学部
砂田 利一
この文章は 2016 年 9 月 19 日に関西大学で行った日本数学会 70 周年記念講演に基づいている．
2 無限の概念
ここで，カントルの理論の背景にある，無限概念についての歴史を振り返ろう．
無限を最初に扱ったのは，古代ギリシャのアナクシマンドロス（前 610 頃?前 546 頃）
である．彼は「アペイロン」（限りがない）という概念を導入し，それを万物の根源（ア
ルケー）とした．その後アナクサゴラス（前 510 頃?前 428 頃）により「無限大，無限小」
について語られたが，19 世紀後半まで歴史の中で大きな影響を与えたのはアリストテレ
ス（前 384?前 355）である．彼は，無限には「実無限」と「可能無限」の 2 種類があっ
て，可能無限は認められるが，実無限は存在しないと考えた．カントルの集合論は，ま
さにアリストテレスに対するアンチテーゼなのである．
念のため，「実無限」と「可能無限」の意味を与えておく．
可能無限：無限を把握出来るのは，限りがないということを確認する操作が
存在していることだけで，無限全体というのは認識出来ないとする立場
実無限：無限の対象の全体性を把握して，無限が実際に存在しているとする立場
(引用終り)
以上
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