現代数学の系譜カントル超限集合論他 3

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8: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/07/18(土) 10:19:03.66 ID:ywyns0bH

>>7
前スレより
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/878
「反例の存在証明」
＜まず確認＞
１．箱への数の入れ方は、「どんな実数を入れるかはまったく自由」である
２．したがって、”独立同分布である i.i.d. IID”（下記）で、箱に数を入れることは可能
３．時枝記事の”勝つ戦略”なるものは
　「ある1つの箱を残して、他の箱を全て開けることを許せば、
　その1つの箱の実数を 確率99％（あるいは確率1-ε（εは任意に小さく取れる））で的中できる」
　ということだった
＜反例証明＞
１．”独立同分布 i.i.d. IID”で、箱に数を入れるとする
　（可算無限個の確率変数を扱うことは、大学レベルの確率論＆確率過程論の射程内である）
２．IIDとして、サイコロで箱に数を入れれば、的中確率は1/6である
　どの箱も例外無し。どの1つの箱も 確率99％にならないので、反例となる
３．区間[0,1]の一様分布から、任意の実数を選んで IIDで 数を入れる
　ルベーグ測度では区間[0,1]の１点ｒ( 0 =< r =< 1 ) の測度は0（∵零集合）で、的中確率0
　これも、反例となる
QED
（補足：”独立”だから、問題の箱以外を開けても、問題の箱の確率には 何ら影響しない。サイコロなら1/6、区間[0,1]の一様分布内の１点ｒなら的中確率0）
ｗ（＾＾；

この「反例証明」が分からないのは、小学生レベルの”数学落ちこぼれ”ｗｗ

（参考）
https://www.practmath.com/iid/
実用的な数学を
2019年6月20日 投稿者: TAKAN
独立同分布である i.i.d. IID
(抜粋)
|| 同じ分布のデータは互いに不干渉だよ
これは「確率変数を別々に扱えるよ」という『仮定』です。
これが仮定されていると、非常に計算がしやすくなります。
相関を考えなくて良いので、共分散などを使う必要がありません。
なにせ条件付き確率の発想から分かる通り、独立性は特別なものです。
といっても、そうそうおかしなことにはならないわけですけど。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/8

183: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/09/20(日) 23:40:49.36 ID:w0R3FJMo

１．不成立の証明は、反例を一つ提示すれば、終わる
　時枝に対し、IID（独立同分布）（>>8-9）が、反例になる
　それで、証明は終わっている
　・独立だから、他の箱を開けてもだめ
　・同分布だから、サイコロを使えば、確率1/6にしかならない。99/100にはならない
２．時枝の記事の後半で、おかしなこと
　１）数列のシッポだから、ビタリ風の非可測集合と即断しているが、そもそも可算無限次元のR^∞には、計量が入らない（自乗総和が無限大に発散する）
　　計量を入れるなら、ヒルベルト空間などに制限する必要があるが、そこの問題ではない
　　時枝戦略の本質的問題点は、決定番号の分布が非正則分布になり、確率計算ができないことにある
　２）確率変数の独立の定義に、イチャモンつけている
　　しかし、「確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立， と定義される」という表現は、コンパクト性定理でも使われている表現で、まっとうなものです
　　（下記 渕野 などご参照）
　　時枝氏の書いていることは、ちょっと変です
３．結局、時枝記事の戦略は成り立ちません！

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
コンパクト性定理
コンパクト性定理とは、一階述語論理の文の集合がモデルを持つこと（充足可能であること）と、その集合の任意の有限部分集合がモデルを持つことが同値であるという定理である
つまりある理論の充足可能性を示すにはその有限部分についてのみ調べれば良いという非常に有用性の高い定理であり、モデル理論における最も基本的かつ重要な成果のひとつである

https://fuchino.ddo.jp/kobe/jyohokiso-2012-compactness.pdf
有限から無限への移行原理としての命題論理 渕野昌 2012
P7
命題論理のコンパクト性定理
定理1　 Tのすべての有限部分集合が充足可能なら T も充足可能である
コンパクト性定理は，無限の性質が本質的かかわっている定理である
命題論理のコンパクト性定理は，有限の世界で成立する命題のアナロジーが無限の世界でも成立することを証明するときの強力な道具の１つとなる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/183

203: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/10/01(木) 15:15:00.19 ID:7fZLD5Mp

再録
(引用開始)
１．不成立の証明は、反例を一つ提示すれば、終わる
　時枝に対し、IID（独立同分布）（>>8-9）が、反例になる
　それで、証明は終わっている
　・独立だから、他の箱を開けてもだめ
　・同分布だから、サイコロを使えば、確率1/6にしかならない。99/100にはならない
(引用終り)

（>>169より）
時枝(>>7)が成立しないことは、大学教程の確率論・確率過程論を、学んだ人にはすぐ分かる
呪文は、IID（独立同分布）（>>8-9）！

１．独立だから、問題の箱以外を開けても、問題の箱とは無関係
２．同分布だから、どの箱も、別の確率になることはない

さらに、おかしなこと
１．箱の数として、ある確率現象を考える。コイントスの0，1なら確率1/2
　サイコロで1〜6の数なら確率1/6
　閉区間[0,1]の一様分布の実数１点的中は、確率0（∵零集合だから）
２．ところが、時枝さんの方法では、確率現象の依存性が消えてしまっている
　どんな確率現象でも、一律99％。これはおかしい

なぜ、こんなおかしな事が？
それは、思わず知らず 非正則な分布の上で、確率計算をしてしまっているから(>>160)です（＾＾
（積分範囲が、∞になる場合は、裾が1/xつまり、指数でいえば-1乗よりも早く減衰しないと、積分値は発散します。下記 裾の重い分布などご参照）

なお、（>>183より再録）時枝の記事の後半で、おかしなことが書いてある
　１）数列のシッポだから、ビタリ風の非可測集合と即断しているが、そもそも可算無限次元のR^∞には、計量が入らない（自乗総和が無限大に発散する）
　　計量を入れるなら、ヒルベルト空間などに制限する必要があるが、そこの問題ではない
　　時枝戦略の本質的問題点は、決定番号の分布が非正則分布になり、確率計算ができないことにある
　２）確率変数の独立の定義に、イチャモンつけている
　　しかし、「確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立， と定義される」という表現は、コンパクト性定理でも使われている表現で、まっとうなものです
　　（下記 渕野 などご参照）
　　時枝氏の書いていることは、ちょっと変です

結局、時枝記事の戦略は成り立ちません！

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/203

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