[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 (548ﾚｽ)
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139(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/09(日)07:25 ID:QmjvhqAQ(1/7)調 AAS
>>135
「グロタンディーク伝説：彼の思考が最初から抽象的で、具体例で考察せずに一般論を構築していたことを示すものだという数学者もいる」
まあ、普通の人が、グロタンディーク伝説をまねしない方が良い。天才以外はね
あなた、時枝ももう少し具体例に落として、考えなよ（＾＾
（参考）
純粋・応用数学（含むガロア理論）3
2chｽﾚ:math
グロタンディーク伝説：彼の思考が最初から抽象的で、具体例で考察せずに一般論を構築していたことを示すものだという数学者もいる
有名な話です
グロタンディーク氏は、全てが抽象的思考だとか思われたらしいが
一般には、”抽象 ←→ 具体例 ” これの行ったり来たり
天才のまねをしても、大概の人はだめでしょうね
”全てが抽象的思考”とか、まねしない方がいい
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF
アレクサンドル・グロタンディーク
(抜粋)
逸話
このエピソードは、彼の思考が最初から抽象的で、具体例で考察せずに一般論を構築していたことを示すものだという数学者もいる。
(引用終り)
140(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/09(日)08:24 ID:QmjvhqAQ(2/7)調 AAS
>>139 補足
さて、時枝をもう少し具体例に落として、考えてみよう
(>>7 時枝記事（数学セミナー201511月号の記事）ご参照)
(>>37の)フレシェフィルターによる、時枝の可算無限数列のシッポの同値類
（これだけでは何も新しいことは言えないが、考察の手がかりには なる）
１）簡単に２つの可算無限数列x,yで考えよう
いま、具体例として、無理数の無限小数展開の小数部分を考える
10進で、各桁は0〜9の数で、この可算無限数列が得られる
（例えば、π＝3.14159 26535 89793・・で、小数点以下の”14159 26535 89793・・”を考えるってこと）
２）フレシェフィルターは、これだけでは何も言えないが、超準解析（ノンスタとも）と繋がっているところが良いね
”14159 26535 89793・・”の時枝の同値類を考える
例えば、先頭の有限部分を変えた ”x1,x2,x3,x4, 9 26535 89793・・”などは、その例だ（x1,x2,x3,x4・・・などは任意の実数で可）
これらで、数列xとその同値類を考える
３）さて、時枝さんのやっていることは、別の数列yから、ある有限の決定番号dyを得て
問題の数列xの決定番号dxとの比較で、dx < dy となっていれば、勝ち
つまり、数列xにおいて、dy+1番目より大きいシッポの数を知って、数列xの代表からdy番目の数列xの数が的中できるという
４）ところが、>>130で書いたように、決定番号はその分布が非正則。つまり、コルモゴロフの確率の公理を満たすことができない
だから、P(dx < dy)=1/2 (つまり確率1/2) という計算が正当化されない
５）フレシェフィルターに戻ると、x1,x2,x3,x4・・・などは、上記のように別に 10進の 0〜9 に限らない。任意の実数で良いのだ
とすると、代表のdy番目の数は、「0〜9 に限らない 任意の実数」となっている可能性が大
そういうことを、確率計算に折り込む必要があるが、それも難しい（不可能でしょ）
６）ここらを批判しているのが、mathoverflowでの二人の数学Dr Alexander Pruss 氏と Tony Huynh氏です！(>>92 ご参照)
以上
つづく
141: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/09(日)08:24 ID:QmjvhqAQ(3/7)調 AAS
>>140
つづき
参考(>>37より)
”２つの無限列s1,s2∈R^Nについて
一致する項の番号の集合が
Nの補有限部分集合（つまりNにおける有限集合の補集合)
ならば同値、というだけのことだろう
（これが、フレシェ・フィルタを用いた同値関係の再定義）”
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC
超フィルター
超フィルター（ちょうフィルター、英: ultrafilter）または極大フィルター（きょくだいフィルター、英: maximal filter）とは順序集合上で定義されたフィルターの中で極大なものをいう。
冪集合上の超フィルター
基本性質
・X が有限集合のとき U が自由な超フィルターだとすると Φ = Xc ∈ U より矛盾するので、有限集合上には単項フィルターしか存在しない。
・無限集合 X の補有限部分集合全体 Pfin(X) := {A ⊆ X : |X ＼ A| <= ∞} は真のフィルターとなりフレシェ (仏: Frechet) フィルターと呼ばれる。超フィルターが自由なこととフレシェフィルターを含むことが同値。
・無限集合 X の超フィルター全体 Ult(X) の濃度は、X の冪集合 P(P(X )) の濃度と等しくなる（これはフィルター全体や自由な超フィルター全体の濃度とも等しい）。
・無限集合 X 無限基数 κ < |X| にたいし、X 上の集合族 Pκ(X) := {A ⊆ X : |X ＼ A| < κ} は真のフィルターとなり（特に κ = |X| のとき）一般化されたフレシェ (英: generalized Frechet) フィルターと呼ばれる。X 上の超フィルターが κ-一様なことと、Pκ(X) を含むことが同値。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice Denis氏 Dec 9 '13
(引用終り)
以上
142(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/09(日)11:19 ID:QmjvhqAQ(4/7)調 AAS
>>115
>選択公理を認めるなら、いかなる列の決定番号も自然数 つまり有限です
>∞になることなどあり得ません（∞は自然数ではありませんｗ）
＜赤ペン先生＞（＾＾
１．それ、”選択公理”の問題ではない、レーヴェンハイム-スコーレだよ。一階の理論か、一階以上の理論かの問題
２．レーヴェンハイム-スコーレム：「定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す」
レーヴェンハイム-スコーレム：「一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない」
３．自然数：「物の個数を数える基数のうちで有限のもの」、「物の並べ方を示す順序数のうちで有限のもの」
「自然数は、可算無限集合である」！！
分かってないね
QED ｗ（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイム-スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム-スコーレムの定理（英: Lowenheim-Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一部とする場合もある。
例と帰結
自然数を N、実数を R とする。この定理によれば、(N, +, ×, 0, 1) の理論（真の一階算術の理論）には非可算なモデルがあり、(R, +, ×, 0, 1) の理論（実閉体の理論）には可算なモデルがある。もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。レーヴェンハイム-スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。
つづく
143: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/09(日)11:19 ID:QmjvhqAQ(5/7)調 AAS
>>142
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
(抜粋)
集合論においては、自然数は
物の個数を数える基数のうちで有限のものであると考えることもできる
物の並べ方を示す順序数のうちで有限のものであると考えることもできる。
自然数と同様に整数の全体も可算無限集合である。
（補足）
http://www.cs-study.com/koga/set/lowenheimSkolem.html
形式的論理体系の定義から
レーベンハイム・スコーレムの定理までの大急ぎのまとめ by Akihiko Koga 27th Mar. 2020 (Update)
(抜粋)
まず，公理という用語から定義する．その体系で選ばれた論理式を公理という． 公理は有限個でも無限個でも構わない．ただし，どんな体系を作るにしても，論理的体系を 成立させるために，最初から選ばれている公理がある．例えば，P→P などである．
（ダウンワード）レーベンハイム・スコーレムの定理成立の本質
当然のことながら証明は厳密にしなければならないのだが，レーベンハイム・スコーレムの 定理が成り立つ本質的な理由は，
有限，あるいは可算無限個の関数記号や述語記号から 作り出すことができる要素の総体は可算無限個である
ことによる．
(引用終り)
以上
151(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/09(日)20:01 ID:QmjvhqAQ(6/7)調 AAS
>>130 補足
> ７）時枝も、決定番号は n→∞ の非正則な分布です。なので、まっとうな確率計算ができません
決定番号は、明らかに上限はなく、自然数全体を渡る。つまり n→∞
このような場合、確率分布は、広義積分（又は和）になります（下記ご参照）
n→∞ まで、積分する（あるいは和を取る）とき
n→∞ で、十分早く減衰する必要があります。単なる減衰ではなく、1/xよりも早く減衰しなければ発散します
（x^k で言えば、べきk が、-1よりも早く減衰しなければ、積分値は発散します。ｎで言えば、1/nより早く減衰する必要があるってことです）
つまり、時枝の決定番号は、n→∞ で 積分（又は和）が発散し、非正則分布になり、まっとうな確率計算はできません
確率分布を勉強すれば、これは初歩の初歩で、常識です（＾＾
発散する場合、分布は非正則分布であり、まともな確率計算はできません
（参考）
https://ameblo.jp/2217018/entry-12318900072.html
プロフィール｜ピグの部屋 ペタ
広義積分∫x^^kdxの収束・発散 2017-10-12
(抜粋)
J(k)=∫[1?∞]x^k dx
とする。
収束・発散
J(k)はk<-1のときに収束し、その極限値は1/|k+1|である。
それ以外のときは、+∞に発散する。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%83%E7%BE%A9%E7%A9%8D%E5%88%86
広義積分
(抜粋)
広義積分（こうぎせきぶん、英: improper integral）とは何らかの定積分の積分区間を動かしたときの極限である。極限値は有限確定値に収束することもあるが発散することもある。積分区間の端点（片方または両方）は何らかの実数か正または負の無限大に近づく。
152: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/09(日)20:17 ID:QmjvhqAQ(7/7)調 AAS
>>151 補足
ロングテールとか、裾の重い分布とか言われます
ですが、これらは、確率分布の裾が減衰する分布です
時枝の決定番号は、全く減衰などしません。よって、積分（又は和）は発散し、非正則分布であり、まともな確率計算ができません！！（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%83%86%E3%83%BC%E3%83%AB
ロングテール
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Long_tail.svg/220px-Long_tail.svg.png
黄色部分が「ロングテール」である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A3%BE%E3%81%AE%E9%87%8D%E3%81%84%E5%88%86%E5%B8%83
裾の重い分布あるいはヘヴィーテイルとは、確率分布の裾がガウス分布のように指数関数的には減衰せず[1]、それよりも緩やかに減衰する分布の総称。 また類似の用語に、ファットテイル、裾の厚い分布、ロングテール、劣指数的(subexponential)などがある。
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