[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 (548ﾚｽ)
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364: 2021/11/17(水)07:10 ID:5EFHliSw(1/3)調 AAS
>>348で述べた定理では、Xが一元集合のときだけが対象になっていたが、より一般的に、
任意の集合Xと、Xの任意の元aに対して、aもまた集合であることが(ZFCの中で)示せる。

定理：Xは集合とする。このとき、Xの任意の元は集合である。
すなわち、a∈X を任意に取るとき、この a は集合である。

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365: 2021/11/17(水)07:12 ID:5EFHliSw(2/3)調 AAS
このことを踏まえて、

＞{…{{}}…}と
＞{{},{{}},{{{}}},…}と

について考えてみる。まず、

X＝{{},{{}},{{{}}},…}

と置けば、このXは集合である。また、Xの元として、たとえば {}∈X, {{}}∈X, {{{}}}∈X などが取れる。
ゆえに、上記の定理により、{} は集合であり、{{}} も集合であり、{{{}}} も集合である、ということになる。
実際、これらの3つは集合である。

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366: 2021/11/17(水)07:15 ID:5EFHliSw(3/3)調 AAS
次に、

Y＝{…{{}}…}

と置く。もし Y が集合ならば、上述の定理により、Y の任意の元は集合である。
今の場合、…{{}}… ∈ Y なのだから、上述の定理により、
…{{}}… は集合ということになる。よって、

A ＝ …{{}}…

と置けば、この A は集合ということになる。では、A の元は一体どのような形をしているのか？

さあ答えよ。

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