[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 (548ﾚｽ)
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401(7): 2021/11/19(金)21:16 ID:+7TU/4z5(1)調 AAS
>>395 補足
>”n・・・”みたく、無限上昇列を、作ったんだ。ノイマンは

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理

ペアノの公理は以下の図にまとめることができる:
f(x)→f( f(x) )→f( f( f(x) ) )→ ・・・
ここで、各 f(x), f( f(x) ), f( f( f(x) ) ), ... は互いに異なる。

それぞれの自然数を明記しようとするならば、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。即ち、
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である。 この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[2] 。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
(引用終り)

つまり、この対応は
数→Zermelo→　Neumann
0 :　 {} 　→　{}
1 :　{{}} →　{0}
2 : {{{}}} →　{0, 1}
3 :{{{{}}}} →　{0, 1, 2}
・
・
n :{･･{{{}}}･･} →　{0, 1, 2,･･,n-1}
・
・
ω :{･･･{{{}}}･･･} →　{0, 1, 2,･･,n-1･･･} (注：･･･の部分は全ての自然数を尽くす)
となる

そして、0, 1, 2･･･は、カッコ{}のネスティングの深さにも対応しているのです

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