[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む80 (1002ﾚｽ)
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23(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/01/04(土)23:47 ID:MNiodNk0(20/21)調 AAS
>>22
つづき
５）
このシッポの先に残る係数で0にならない部分は、多項式環R[X] からはみ出す部分です
この多項式環R[X] からはみ出す部分があるから、同値類内の任意の形式的冪級数においては、”Fp'=Fp-p' not∈R[X] ”となります
この多項式環R[X] からはみ出すシッポの部分は、任意の同値類内の形式的冪級数Fp'=Fp-p'が、必ず持っているシッポです
この多項式環R[X] からはみ出すシッポの部分は、決して空集合にはなりえない。∵ 空集合なら、Fp∈R[X] で矛盾です
この多項式環R[X] からはみ出すシッポの部分は、常に可算無限長の数列を成します。∵ ∞−(ｎ0-1)＝∞だから。つまり、列の長さで、無限大の長さの数列で先頭の有限ｎ0-1個の数を除いても、必ず∞の長さの列が残るからです。
QED
お分かりかな？
これ、”できる”数学科生なら理解可能だろうが、”落ちこぼれ”のあなたには理解できないかも知れないねぇ（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
(抜粋)
定義
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, …) を A の元として、
Σn=0〜∞ a_nX^n=a_0+a_1X+a_2X^2+・・・
の形をしたものである。ある m が存在して n >= m のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。
つづく
24(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/01/04(土)23:48 ID:MNiodNk0(21/21)調 AAS
>>23
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
(抜粋)
定義
体 K に係数を持つ不定元 X に関する多項式とは
総和の記号 ?
を使えば、同じ多項式は
p=p_mX^m+p_m-1X^m-1+・・・ +p_1X+p_0=Σk=0〜m p_kX^k
と簡潔な形に書くことができる。この総和の範囲はよく省略されて、 p=Σk p_kX^k のように書くこともある。
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ- は、暗黙の了解である。
体 K に係数を持つ多項式全体の成す集合は可換環を成し、K[X] で表して、K 上の多項式環 (ring of polynomials over K) と呼ぶ。
過去スレ20 時枝再録 2chｽﾚ:math
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
(引用終り)
以上
27(2): 2020/01/05(日)08:37 ID:CpJpHnug(1/11)調 AAS
>>21-25
長々と解説してるけど…その解説は肝心の
「尻尾の同値類全体に共通する尻尾がある」
の証明にはならないね
証明できるわけない だってウソだからｗ
2chｽﾚ:math
同値類から取り出した有限個の列からは共通の尻尾がとれるが
無限個の列からは共通の尻尾が取り出せない場合がある！
29(6): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/01/05(日)09:20 ID:dWKXmW0r(3/27)調 AAS
>>27
いいんじゃね？
>>21-25で言いたいことは
１．時枝の可算無限数列 は、それを係数とする形式的冪級数として捉えることができる
２．シッポの同値類で、同じ同値類に属する形式的冪級数FpとFp'の差を取って、
多項式 p'=Fp-Fp' で、p'∈R[X] （多項式環）で、n0-1次多項式 ができる
３．Fpを同値類の代表とする
時枝のいう決定番号dは、d=n0です
（参考）
スレ20 2chｽﾚ:math
3 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/06/19(日) 04:51:43.66 ID:suG/dCz5 [3/23]
(抜粋)
各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列S に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
(引用終り)
４．このように考えると
決定番号dの大小比較は、2つの形式的冪級数（代表の級数と問題の級数と）の差の対抗式pの次数n0に直して考えることができ
非常に考え役成るのです
５．私は、一つの同値類には、固有のシッポが存在すると考えています。同値類内の形式的冪級数たちは、その固有のシッポを共有する
証明はしません。時枝では得に使いませんから。証明など、横道にそれるだけ
でも、一般に同値類には、そういう”不変量”みたいなのが、あることが多いことだけを指摘しておきます（下記）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%A1%9E
同値類
(抜粋)
不変量
〜 が X 上の同値関係で P(x) が，x 〜 y であるときにはいつでも，P(y) が真ならば P(x) が真であるような，X の元の性質であるとき，性質 P は 〜 の不変量，あるいは関係 〜 のもとで well-defined であるといわれる．
163(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/01/07(火)21:13 ID:b2sufDWR(8/10)調 AAS
>>161
どうも。スレ主です。
１．形式的冪級数は、一般には、「代入」は意味を持たない。無限個の和が出てきてしまうからである。（下記ご参照）
２．しかし、特殊ケースで、「代入」が意味を持つ
３．例えば、
形式的冪級数 Σn=0〜∞ anX^n=a0+a1X+a2X^2+・・・を、十進小数にしてみよう
４．X＝1/10を代入し、係数an には0から9までの整数を入れる
例えば、a0=3, a1=1, a2=4, a3=1, a4=5, a5=9・・・
５．それは 3+ 1/10+ 4/10^2+ 1/10^3+ 5/10^4+ 9/10^5・・・
であって、3.14159・・・と円周率πを表わすことができる
６．この例において、多項式なら、あるanより後の係数 例えば、n=3から後を0と考えることができる
a0=3, a1=1, a2=4, a3=0, a4=0, a5=0・・・
である
７．これは、多項式p(X)＝a0+a1X+a2X^2 を表わす
X=1/10を代入して、p(1/10)＝3+1/10+4/10^2＝3.14となる
８．繰返すが、下記にあるように
多項式は、無限の項を持つ形式的冪級数の特殊なものと捉えることができる
即ち、”つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零である” 形式的冪級数と考えれば良いのだ
９．そうすれば、”多項式環 ⊂ 形式的冪級数環 ”と理解することができるのだ
１０．なお、多項式”環”として、環を強調していることには意味があって、
多項式自身は有限ｎ次の式ではあるけれども
”環”であるから、ｍ次式とｎ次式との積はｍｎ次式となり、それは”環”要素の「多項式の次数に上限が無い」ことを意味する
つまり、「多項式の次数に上限が無い」ことを強調するために、多項式”環”として強調しているのだった
以上
(>>23より)
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
(抜粋)
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ- は、暗黙の了解である。
つづく
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