[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む80 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む80 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/

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163: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/07(火) 21:13:49.75 ID:b2sufDWR >>161 どうも。スレ主です。 １．形式的冪級数は、一般には、「代入」は意味を持たない。無限個の和が出てきてしまうからである。（下記ご参照） ２．しかし、特殊ケースで、「代入」が意味を持つ ３．例えば、 　　形式的冪級数 Σn=0〜∞ anX^n=a0+a1X+a2X^2+・・・を、十進小数にしてみよう ４．X＝1/10を代入し、係数an には0から9までの整数を入れる 　　例えば、a0=3, a1=1, a2=4, a3=1, a4=5, a5=9・・・ ５．それは 3+ 1/10+ 4/10^2+ 1/10^3+ 5/10^4+ 9/10^5・・・ 　　であって、3.14159・・・と円周率πを表わすことができる ６．この例において、多項式なら、あるanより後の係数 例えば、n=3から後を0と考えることができる 　　a0=3, a1=1, a2=4, a3=0, a4=0, a5=0・・・ 　　である ７．これは、多項式p(X)＝a0+a1X+a2X^2 を表わす 　　X=1/10を代入して、p(1/10)＝3+1/10+4/10^2＝3.14となる ８．繰返すが、下記にあるように 　　多項式は、無限の項を持つ形式的冪級数の特殊なものと捉えることができる 　　即ち、”つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零である” 形式的冪級数と考えれば良いのだ ９．そうすれば、”多項式環 ⊂ 形式的冪級数環 ”と理解することができるのだ １０．なお、多項式”環”として、環を強調していることには意味があって、 　　多項式自身は有限ｎ次の式ではあるけれども 　　”環”であるから、ｍ次式とｎ次式との積はｍｎ次式となり、それは”環”要素の「多項式の次数に上限が無い」ことを意味する 　　つまり、「多項式の次数に上限が無い」ことを強調するために、多項式”環”として強調しているのだった 以上 (>>23より) （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0 多項式環 (抜粋) 注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ- は、暗黙の了解である。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/163

164: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/07(火) 21:14:27.45 ID:b2sufDWR >>163 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0 形式的冪級数 (抜粋) 定義 A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, …) を A の元として、 Σn=0〜∞ anX^n=a0+a1X+a2X^2+・・・ の形をしたものである。ある m が存在して n >= m のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。 形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。 性質 ・多項式とは異なり、一般には、「代入」は意味を持たない。無限個の和が出てきてしまうからである。 　しかし、例えば次のようなときには意味を持つ。可換環 A はイデアル I による I 進距離で完備であるとする。 　このとき a1,・・・ ,an∈ I であれば、 Σ α cα X^α ∈ A[[X1,・・・ ,Xn]] の X1,・・・ ,Xn に a1,・・・ ,an を代入したものは収束する。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/164

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