[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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783(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/15(日)11:03 ID:BvQtIPz4(3/5)調 AAS
>>775 補足
(>>725より)
<ノイマン構成>
0 := {}, suc(a) :=a∪{a} と定義する
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々
(>>728より)
<ノイマン構成>にしろ、<Zermelo構成>にしろ
0,1,2,3,・・・たちを集合として見たら
上昇列：0∈1∈2∈3∈4∈…
が構成される
(>>690より)
１．無限公理を適用して、全ての後者関数を含む無限集合の存在を認める
２．そうすると、無限集合はできるが
このままでは、過剰な後者を含んでいる
欲しいのは、ジャスト自然数の集合N
３．従って、自然数集合Nには不要な、過剰な後者を取り除きます
で、<ノイマン構成>で自然数集合Nができる
N：＝{0,1,2・・n・・} （全ての有限の自然数nを集めたもの）
当然、要素の全ての有限の自然数nは、後者関数により生成されている
上昇列：0,1,2・・n・・
これは、可算無限長だが、整礎であり、正則性公理には反しない
<ノイマン構成>では、Nが∞に相当し順序数ω
上昇列：0,1,2・・n・・ω
Nの後者も定義できる、suc(N) :=N∪{N}
明らかにN≠N∪{N}
さて、<Zermelo構成>で、シングルトンを用いて同じことができる
上昇列：0,1,2・・n・・ω
これは、可算無限長だが、整礎であり、正則性公理には反しない
ωの後者も定義できる、suc(ω) :={ω}
明らかにω≠{ω}
<Zermelo構成>の場合、ωは最小の可算無限シングルトンになる
繰返すが、上昇列は可算無限長だが、整礎であり、正則性公理には反しない
ＱＥＤ
（＾＾
787(1): 2019/12/15(日)13:19 ID:shQE/MNw(2/4)調 AAS
>>783
><Zermelo構成>の場合、ωは最小の可算無限シングルトンになる
アウト〜
{{…}}は正則性公理に反するので集合ですらない
そもそもωがシングルトンでなければならない道理がまるで無い
バカの妄想に過ぎない
794(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/15(日)15:20 ID:BvQtIPz4(5/5)調 AAS
>>783 補足
(>>420より)
<Zermelo構成>
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
(抜粋)
形式的な定義
自然数の公理
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
空集合を 0 と定義する。
0:=Φ ={}
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
(引用終り)
(>>783より)
<Zermelo構成>
0,1,2,3,・・・たちを集合として見たら
(可算無限長の)上昇列：0∈1∈2∈3∈4∈…
が構成される
上昇列は、正則性公理には反しない（>>783）
シングルトンの(可算無限長の)上昇列は、正則性公理には反しない
だから、ωに相当するシングルトンの存在は、正則性公理には反しない
ωに相当するシングルトンの存在を否定したければ、別の理論を持ってこい ｗ！！ｗ （＾＾：
（そんな理論はありませんｗｗ）
QED
（＾＾
961(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/21(土)00:23 ID:AVt64yFu(1/9)調 AAS
>>945 補足
（>>783）
<ノイマン構成>
0,1,2,・・,n-1,n,・・,ω,ω+1,ω+2,・・
後者関数を、suc (a):=a∪{a}とする
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
例えば、ω+1:=ω∪{ω}
<Zermelo構成>では、後者関数を、suc (a):={a}とする
ω+1:={ω}
で、確かに<ノイマン構成>綺麗ですよね。ω＝Nとなって、順序と濃度が対応している
それは、<Zermelo構成>では、実現できていない。
けれども、<Zermelo構成>によるωの構成はだれも否定していない
<ノイマン構成>からぱくって、ω＝Nも出来なくは無い
ω＝N、ω+1:={N}、ω+2:={{N}}、・・ としてもいい
だが、ωの後者以降は、シングルトン。ωより以前も、シングルトン。
だったら、<Zermelo構成>でのωも、シングルトンと考えるのが、自然であり理論的にも綺麗
<Zermelo構成>でのωが、シングルトンであることを否定する理屈なし
（おサルの「正則性公理に反する」とか、アホ発言はあったけどね（＾＾； ）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
(抜粋)
<ノイマン構成>
・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc (a):=a∪{a}
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
<Zermelo構成>（>>725より）
他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
つづく
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