現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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775(4): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/15(日)09:08 ID:BvQtIPz4(2/5)調 AAS
>>763-764
＞限り無く∞に近いが決して∞では無い有限数

いいね。その考えは、
コンパクト化という考えだね

1)数学セミナー　2019年12月号に記事がある
2)拡張実数を考え、∞を導入すると、実数をコンパクト化できる
3)1/∞＝0と定めることができる
4)「位相空間としては、実数直線は開区間 (0, 1) に同相である」（下記）
5)拡張実数で、
　自然数：1　 ,2　 ,3　 ,・・,n　 ,・・,　∞
　逆数　：1/1,1/2,1/3,・・,1/n,・・,1/∞＝0
6)順序数で考えると、全ての有限自然数の後のωに相当するのが∞
7)ノイマンの自然数構成で、ω（＝∞）が構成できた
8)この無限長の列は、当然正則性公理には反しない
9)同じ事が、Zermelo構成でできる。正則性公理には反しない!!
ＱＥＤ
（＾＾；

https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/8170.html
数学セミナー 2019年12月号
コンパクト／有限と無限の橋渡し薄葉季路　22

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
拡張実数は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 ?∞ の二つを加えた体系を言う。
無限大は、（通常の）実数ではない。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E7%9B%B4%E7%B7%9A
実数直線は、その上の各点が実数であるような直線である。
位相的な性質
実数直線上には標準的に二つの互いに同値な方法で位相を入れることができる。一つは、実数直線が全順序集合であることを用いて順序位相を入れる方法。
もう一つは先に述べた距離からくる内在的な距離位相を入れる方法である。R 上のこれら二つは全く同じ位相を定める。位相空間としては、実数直線は開区間 (0, 1) に同相である。

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Real_projective_line.svg/150px-Real_projective_line.svg.png

R の一点コンパクト化は円周（実射影直線）であり、付け加えられた点は符号なしの無限大と考えることができる。
別な方法で、実数直線に二つの端点を付け加えて得られる端コンパクト化は拡張実数直線 (extended real line) [?∞, +∞] と呼ばれる。
他にも、実数直線に無限個の点を付け加えるストーン-チェックコンパクト化などがある。

776: 2019/12/15(日)09:27 ID:PRdnkv5o(5/16)調 AAS
>>775
＞7)ノイマンの自然数構成で、ωが構成できた

次者関数S(x)=x∪{x}だけではできないよ

無限公理
{}∈ω∧(x∈ω⇒x∪{x}∈ω)
を認めることではじめて構成できる

＞8)この無限長の列は、当然正則性公理には反しない

降下列は有限長だよ　だ・か・ら正則性公理には反しない

ω∋0
ω∋1∋0
ω∋2∋1∋0
…

どれだけ伸ばしても有限

>9)同じ事が、Zermelo構成でできる。正則性公理には反しない!!

同じ事＝無限公理の導入、なら
{}∈Ω∧(x∈Ω⇒{x}∈Ω)
ってことだから、もちろんできるし
正則性公理には反しない

ただしΩはシングルトンではない！
Ω={{},{{}},{{{}}},…}

777: 2019/12/15(日)10:33 ID:pulS0MYz(1/6)調 AAS
>>775
ω→∞→１/∞≒ほぼ０＝特異点。。。？

結局やっぱり　ω≒∞　キャン玉なんですね♪

　　　心のキャン玉は∞！！！

783(3): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/15(日)11:03 ID:BvQtIPz4(3/5)調 AAS
>>775 補足

(>>725より)
<ノイマン構成>
0 := {}, suc(a) :=a∪{a} と定義する
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々

(>>728より)
<ノイマン構成>にしろ、<Zermelo構成>にしろ
0,1,2,3,・・・たちを集合として見たら
上昇列：0∈1∈2∈3∈4∈…
が構成される

(>>690より)
１．無限公理を適用して、全ての後者関数を含む無限集合の存在を認める
２．そうすると、無限集合はできるが
　　このままでは、過剰な後者を含んでいる
　　欲しいのは、ジャスト自然数の集合N
３．従って、自然数集合Nには不要な、過剰な後者を取り除きます

で、<ノイマン構成>で自然数集合Nができる
N：＝{0,1,2・・n・・} （全ての有限の自然数nを集めたもの）
当然、要素の全ての有限の自然数nは、後者関数により生成されている
上昇列：0,1,2・・n・・
これは、可算無限長だが、整礎であり、正則性公理には反しない

<ノイマン構成>では、Nが∞に相当し順序数ω
上昇列：0,1,2・・n・・ω
Nの後者も定義できる、suc(N) :=N∪{N}
明らかにN≠N∪{N}

さて、<Zermelo構成>で、シングルトンを用いて同じことができる
上昇列：0,1,2・・n・・ω
これは、可算無限長だが、整礎であり、正則性公理には反しない
ωの後者も定義できる、suc(ω) :={ω}
明らかにω≠{ω}
<Zermelo構成>の場合、ωは最小の可算無限シングルトンになる
繰返すが、上昇列は可算無限長だが、整礎であり、正則性公理には反しない
ＱＥＤ
（＾＾

842(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/17(火)10:33 ID:MhI4YabZ(1/4)調 AAS
>>820
＞正負の無限大。。。？　

下記な
「別な方法で、実数直線に二つの端点を付け加えて得られる端コンパクト化は拡張実数直線 (extended real line) [?∞, +∞] と呼ばれる。」

（>>775より）
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/8170.html
数学セミナー 2019年12月号
コンパクト／有限と無限の橋渡し薄葉季路　22

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
拡張実数は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 ?∞ の二つを加えた体系を言う。
無限大は、（通常の）実数ではない。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E7%9B%B4%E7%B7%9A
実数直線は、その上の各点が実数であるような直線である。
位相的な性質
実数直線上には標準的に二つの互いに同値な方法で位相を入れることができる。一つは、実数直線が全順序集合であることを用いて順序位相を入れる方法。
もう一つは先に述べた距離からくる内在的な距離位相を入れる方法である。R 上のこれら二つは全く同じ位相を定める。位相空間としては、実数直線は開区間 (0, 1) に同相である。

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Real_projective_line.svg/150px-Real_projective_line.svg.png

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