[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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728(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)08:37 ID:s6Tab8iq(6/15)調 AAS
>>725 つづき
<ノイマン構成>にしろ、<Zermelo構成>にしろ
0,1,2,3,・・・たちを集合として見たら
上昇列：0∈1∈2∈3∈4∈…
が構成される
これは、可算無限長の上昇列
で、<ノイマン構成>と<Zermelo構成>とは、一対一対応がつくのです
自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」（>>725）
とあるように、無限集合の公理によりできる集合 M には、自然数Nに余分な（過剰）要素が存在する
（だから、無限集合（＝後者関数について閉じていて）で、共通部分に絞って、過剰要素を落とすのです）
この過剰要素は、有限の要素ではありえない
（∵有限ならば自然数Nの要素）
従って、ノイマン構成では、自然数Nを超える無限要素が構成できる
ノイマン構成とZermelo構成とは、一対一対応がつくから
Zermelo構成にも、自然数Nを超える無限要素が構成できる
それを、{{…}}（>>720）と簡単に表現しただけのことで
もともと、正確な表現って無理でしょ
（何らかの妥協をしないと、簡単な表現はできない）
ところが、簡単にマンガ的に表現したものを攻撃して、「一番右の”}”があるのないの・・」とか
果ては、正則性公理に反するとか、おいおい
要は、>>713の原文（英文だが）を読んでみなさいってことよ
読めなければ、もともと、この”カントル 超限集合論”スレで議論する力がないってことでしょ
以上
729(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)08:50 ID:s6Tab8iq(7/15)調 AAS
>>728 補足
ノイマン構成で、下記のカントールの順序数が構成できる
具体的には、ノイマン構成で順序数ωが構成できる
（当たり前だが）
ノイマン構成とZermelo構成とは、その構成法から、一対一対応がつく
（∵ 後者関数が少し違うだけなので、順序列としては当然同型になる（∈列として同型））
よって、Zermelo構成で順序数ωが構成できる
順序数ωを簡便に表現すれば、例えば {{…}} ってことです
（この簡便化した表現をいくら攻撃しても、Zermelo構成の順序数ωの存在は否定できないよ）
QED（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。だがそれで終わりではない。
無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである。
740(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)15:31 ID:s6Tab8iq(10/15)調 AAS
>>739
＞”「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」
じゃ、>>728の
<ノイマン構成>
0,1,2,3,・・・たちを集合として見て
可算無限長の上昇列
0∈1∈2∈3∈4∈…
（当然この列は、ωを超えて延長可能（>>729ご参照））
が否定されるぞｗ（＾＾
おサルよｗｗ
783(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/15(日)11:03 ID:BvQtIPz4(3/5)調 AAS
>>775 補足
(>>725より)
<ノイマン構成>
0 := {}, suc(a) :=a∪{a} と定義する
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々
(>>728より)
<ノイマン構成>にしろ、<Zermelo構成>にしろ
0,1,2,3,・・・たちを集合として見たら
上昇列：0∈1∈2∈3∈4∈…
が構成される
(>>690より)
１．無限公理を適用して、全ての後者関数を含む無限集合の存在を認める
２．そうすると、無限集合はできるが
このままでは、過剰な後者を含んでいる
欲しいのは、ジャスト自然数の集合N
３．従って、自然数集合Nには不要な、過剰な後者を取り除きます
で、<ノイマン構成>で自然数集合Nができる
N：＝{0,1,2・・n・・} （全ての有限の自然数nを集めたもの）
当然、要素の全ての有限の自然数nは、後者関数により生成されている
上昇列：0,1,2・・n・・
これは、可算無限長だが、整礎であり、正則性公理には反しない
<ノイマン構成>では、Nが∞に相当し順序数ω
上昇列：0,1,2・・n・・ω
Nの後者も定義できる、suc(N) :=N∪{N}
明らかにN≠N∪{N}
さて、<Zermelo構成>で、シングルトンを用いて同じことができる
上昇列：0,1,2・・n・・ω
これは、可算無限長だが、整礎であり、正則性公理には反しない
ωの後者も定義できる、suc(ω) :={ω}
明らかにω≠{ω}
<Zermelo構成>の場合、ωは最小の可算無限シングルトンになる
繰返すが、上昇列は可算無限長だが、整礎であり、正則性公理には反しない
ＱＥＤ
（＾＾
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