[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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72(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)16:23 ID:JrhjRl4x(30/46)調 AAS
分出公理、冪集合公理、無限公理、貼っておきます（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
公理的集合論
(抜粋)
分出公理
置換公理はフレンケルによって次の分出公理の代わりにおかれたものである（1922年）。分出公理は上に述べた ZF の公理から示すことができる。
分出公理 任意の集合 X と A を自由変数として使用しない論理式 ψ(x) に対して、X の要素 x で ψ(x) をみたすような x 全体の集合が存在する：
∀X∃A∀x(x∈A←→(x∈X∧ψ(x)))。
この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。
論理式 ψ を決めたとき、X に対して分出公理が存在を主張する集合はただ一つであることが外延性の公理から言えるので、
これを {x∈X｜ψ(x)}で表す。
{x∈X｜x∈Y} を X∩Yで表す。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88%E5%85%AC%E7%90%86
冪集合公理
(抜粋)
略
A の冪集合 P(A)
この公理を通常の言葉で言い直すと、次のようになる：
任意の集合 A が与えられたとき、任意の集合 B が P(A) に属するようなある集合 P(A) が存在するための必要十分条件は、B のすべての元が A の元でもあることである。
部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。＊）
外延性公理により、上記の集合は一意であり、このことはすべての集合に冪集合が存在することを意味する。
冪集合公理は集合論のほとんどの公理化において現れる。それは一般に問題を生じさせるものではないが、構成的集合論（英語版）においては可術性（predicativity）に関する懸念を解消するためにより弱いバージョンの冪集合公理が好まれている。
(引用終り)
注：＊）ここ直訳ぽいけど、要するに、冪集合公理の記述には、”部分集合”という用語は使わないってことです
つづく
73: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)16:23 ID:JrhjRl4x(31/46)調 AAS
>>72
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
(抜粋)
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
解釈と帰結
上記定義では「無限」という言葉は用いられていないが、この公理によって（少なくとも1つの）無限集合の存在が保証されることになる。
まず定義中の集合 A（注：無限集合） は以下の性質を満たすことを確認できる。
（以下同様に繰り返す）
各手続きで得られた集合を要素とする集合を B:={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・・} とおくと、 B は A の部分集合である。
この手続きは何回でも繰り返すことができるが、もし有限回で終えた場合、 B は有限集合であり、 A≠Bである。
なぜならば定義により B∪{B}∈A であるが、B∪{B} not∈B となるからである。
一方 A が有限集合であれば、この手続きを繰り返すことで B が A よりも多くの要素をもつことができてしまう。
従って A は有限集合ではない（すなわち無限集合である）ため、
無限公理を採用すれば直ちに無限集合の存在を認めることになる。
上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と同様である。
ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（可算集合）
(引用終り)
以上
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