[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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70(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)16:20 ID:JrhjRl4x(29/46)調 AAS
>>65
>順序数の順序の列と∈列は異なります
ノイマン構成では、順序数の順序の列と∈列は一致するのでは？（＾＾
下記より
”集合 x について以下はZFで同値である。
・x は順序数である。
・x は推移的集合であり帰属関係 ∈ に関する整列集合である。 (ジョン・フォン・ノイマンの定義)[3][4]”
とありますよ
一方、ツェルメロ構成では、一致しない。そこは批判されています（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/順序数
順序数
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法によって
GA,< の値域 ran(GA,<) を (A, <) の順序数といい、これを ord(A, <) で表す。ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[2]。
順序数の特徴付け
集合 x について以下はZFで同値である。
・x は順序数である。
・x は推移的集合であり帰属関係 ∈ に関する整列集合である。 (ジョン・フォン・ノイマンの定義)[3][4]
注釈
2．^ 順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。
その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という "同値関係" によって類別したとき、順序集合 (A, <) の "同値類" を (A, <) の順序型（order type）と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。
ところが現代の標準的な集合論においては、A が空集合でない限り (A, <) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。
これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義（あるいはそれと同値な定義）が広く用いられている。
だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。
ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。
詳細は「順序型」を参照。
(引用終り)
74(1): 2019/10/05(土)16:25 ID:kZwmbLNI(33/44)調 AAS
>>70
＞ノイマン構成では、順序数の順序の列と∈列は一致するのでは？
ωについていえば、一致しません
ｎ∈ω （ｎは自然数）しかいえませんから
あなたの主張は整礎性の否定であり、超限帰納法の否定です
つまり集合論の根幹を全面的に否定する暴挙です
76: 2019/10/05(土)16:31 ID:kZwmbLNI(34/44)調 AAS
>>70
＞一方、ツェルメロ構成では、(順序数の順序の列と∈列は)一致しない。
すでに、>>74にてノイマン構成でも、ωで一致しないと述べたので
不一致が問題ということではありません
問題は
「無限公理のωでは、ｎ∈ωはいえるが
あなたのいうΩでは、ｎ∈Ωがいえない」
という点です
もしかしてあなたは
｛｛｛｝｝｝の要素は｛｛｝｝だけでなく｛｝もそうだ
と思ってますか？
もしそうならそれは全くの誤りです
｛｝と｛｛｝｝を要素とする集合は
｛｛｝、｛｛｝｝｝であって｛｛｛｝｝｝ではありません
83(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)18:24 ID:JrhjRl4x(37/46)調 AAS
>>14
(引用開始)
冪集合で P({a})={Φ,{a}}
つまり、 P({a})は{a}という一元集合の冪集合です
ここで、{Φ,{a}}から、{{a}}という集合を作ることができるということを認めることにしましょう
（注：{Φ,{a}}から、元Φを取り除くだけですけど（多分、分出公理を使う）
あるいは、 P({Φ,{a}})={Φ,{Φ},{{a}},{Φ,{a}}}としても、{{a}}は作ることができる ）
(引用終り)
上記より、空集合の冪集合を繰返して順に集合を作り、{}の多重になった集合を作る
1回P(Φ)={Φ}→{Φ}（1重）
2回P({Φ})={Φ,{Φ}}→{{Φ}}（2重）
3回P({{Φ}})={Φ,{{Φ}}}→{{{Φ}}}（3重）
・
・
n回P({・・{Φ}・・})={Φ,{・・{Φ}・・}}→{{・・{Φ}・・}}（n重集合）
（ここに、{・・{Φ}・・}は、{}のn-1重集合）
フォン・ノイマン宇宙の「0に冪集合の演算を超限回繰り返して得られる集合」を認める
空集合Φに、ω回冪集合の演算を繰り返した集合として、ω重集合
ω回P({・・・{Φ}・・・})={Φ,{・・・{Φ}・・・}}→{{・・・{Φ}・・・}}（ω重集合）
”{{・・・{Φ}・・・}}（ω重集合）”を定義します
この集合の性質は、超限順序数ωの性質を引き継ぐものとします
つまり
Φ＝0∈1∈2∈3・・・∈n・・・∈ω＝N
で、この∈関係は、ノイマン構成と違って、集合演算としては推移的ではない
但し、単なる順序としての∈関係では、推移的です（順序の逆転はない）
これが、”{{・・・{Φ}・・・}}（ω重集合）”の定義です（＾＾
この話は、>>70の下記と符合していますね
つまり、「順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できる」ということです
つづく
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