[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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61(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)15:58 ID:JrhjRl4x(25/46)調 AAS
>>54 追加
さて
・正則性公理では、「無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ は存在しない」と規定するが
・順序数では、「順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する」
一方
「0, 1, 2, 3, ............, ω」
「すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である」
（ここでノイマン構成では
0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω となる順序が形成されている）
となる
・二つを比較すると、
正則性公理の無限下降列には、最小元が存在しない
順序数の無限下降列には、最小元が存在する
という違いがある
これ、大きなポイントでしょうね（＾＾
・あとは、これをどう解釈するのかだけです
１）順序数の無限下降列には、最小元が存在するから、もともと、正則性公理には反していない
２）無限列が、極限順序数ωなどを跨ぐ場合は、除外（ωは集積点ですから、跨げば必ず無限列を成す）
３）クラスの違いで考える。有限順序数の集合の属するクラスと、ωの集合の属するクラスとでは
クラスが別で、クラスを跨ぐ数列には、正則性公理は適用できないと考える（∵ 元々ZFCは、クラスを扱えない）
この１）〜３）のどれか（あるいは全て）
こんなところじゃないでしょうか
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理
(抜粋)
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・任意の空でない集合xに対して、∃y∈x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ は存在しない。
つづく
62: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)15:58 ID:JrhjRl4x(26/46)調 AAS
>>61
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
順序数の大小関係に関して次が成り立つ：
5.順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する。
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
(引用終り)
以上
65(1): 2019/10/05(土)16:02 ID:kZwmbLNI(29/44)調 AAS
>>61
＞一方
＞「0, 1, 2, 3, ............, ω」
＞「すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である」
＞（ここでノイマン構成では
＞0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω となる順序が形成されている）
＞となる
これ、嘘ですね
何度も書いてますが
0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω
では、「∈ω」の左側の要素が…のままで明記されません
したがって∈列ではありません
順序数の順序の列と∈列は異なります
この事実をまず理解しましょう
66: 2019/10/05(土)16:06 ID:kZwmbLNI(30/44)調 AAS
>>61
＞ 正則性公理の無限下降列には、最小元が存在しない
＞ 順序数の無限下降列には、最小元が存在する
あなたのいう「順序数の無限下降列」が
0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω
のことなら、そもそも無限下降列ではないので嘘です
通常であれば「誤り」というところですが、
あなたが私の文章を一切読まず（読んでも理解せず）に
執拗に書き込みつづけるのであえて「嘘」といわせていただきました
はっきりいって非常に悪質と言わざるを得ません 迷惑です
＞これ、大きなポイントでしょうね
実に初歩的でつまらない誤りですよ
だからこのような誤りに固執して書き込みするのは迷惑です
69: 2019/10/05(土)16:14 ID:kZwmbLNI(31/44)調 AAS
>>61
＞１）順序数の無限下降列には、最小元が存在するから、
＞ もともと、正則性公理には反していない
そもそもあなたのいう
0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω
は「∈ω」の左側の元を記載した瞬間、
有限列になるので、無限下降列にはなりません。
最小元の存在とかいう以前の問題
＞２）無限列が、極限順序数ωなどを跨ぐ場合は、除外
＞ （ωは集積点ですから、跨げば必ず無限列を成す）
いかなる超限順序数であろうと、降下列は有限です
極限順序数の場合は、すぐ下の順序数がないので飛びます
つまりωの下は、自然数ｎになります
＞３）クラスの違いで考える。
＞ 有限順序数の集合の属するクラスと、
＞ ωの集合の属するクラスとではクラスが別で、
＞ クラスを跨ぐ数列には、正則性公理は適用できないと考える
順序数が理解できてませんね
順序数の全体はクラスですが、
有限順序数の全体はωという集合です
また、例えばたかだか可算無限順序数の全体の集合はアレフ１です
そして、前にも述べたように、いかなる無限順序数でも降下列の長さは有限です
超限帰納法が意味を持つのは、降下列の長さが有限だからです
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