[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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538(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)20:50 ID:4Ujjq2jv(3/17)調 AAS
>>537
つづき
Comme on sait, l'ensemble de tous les objets (s'il existe) jouit des proprietes paradoxales : contrairement a un theoreme connu de G. Cantor, la puissance, de cet ensemble ne serait point inferieure a celle de la classe de tous ses sous-ensembles.
Il en est de meme de la classe composee de tous les ensembles
contenant un seul element; donc, les classes K ne verifient pas, le theoreme de Cantor.
En tenant compte de ce fait, on pourrait mettre en doute l'existence meme des classes K.
En modifiant la definition de M. Sierpinski de facon a en supprimer cet inconvenient, j'obtiens la definition suivante:
L'ensemble M est fini, lorsque la classe de tous ses sousensembles
(non vides) est l'unique classe satisfaisant aux conditions:
1. ses elements sont des sous-ensembles (non vides) de M;
2. tout ensemble contenant un seul element de M appartient a cette classe;
3. si A et B sont deux ensembles appartenant a cette classe, leur ensemble-sornme A+B lui appartient aussi.
つづく
539: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)20:50 ID:4Ujjq2jv(4/17)調 AAS
>>538
つづき
Nous allors demontrer qu'un ensemble fini d'apres cette definition l'est aussi au sens ordinaire et reciproquement.
En d'autres termes: pour qu'un ensemble soit fini d'apres la definition proposee, il faut et il suffit que le nombre de ses elements puisse etre exprime par un nombre naturel (la notion de nombre naturel etant supposee connue).
En effet,soit M un ensemble dont le nombre d'elements peut etre exprime par un nombre naturel; soit Z une classe quelconque satisfaisant aux conditions 1-3.
Nous allons montrer que tout sous-ensemble de M appartient a Z.
Il en est ainsi - en vertu de la condition 2 - des sous-ensembles composes d'un seul element; en meme temps, s'il en est ainsi des sous-ensembles contenant n elements, il en est de meme - d'apres 3 - de ceux qui en contiennent n+l.
Comme le nombre d'elements de chaque sous-ensemble de M se laisse exprimer par un nombre naturel, il en resulte par induction que Z contient tous les sous-ensembles de M.
Donc, la classe Z etant necessairement identique a celle de tous les sous-ensembles de M, elle est l'unique classe satisfaisant aux conditions 1-3.
Ainsi, tout ensemble dont le nombre d'elements peut etre exprime par un nombre naturel est un ensemble fini dans notre sens.
Supposons, d'autre part, que le nombre d'elements d'un ensemble donne M ne se laisse pas exprimer par un nombre naturel.
Designons par Z la classe de tous les sous-ensembles de M dont le nombre d'elenlents peut etre exprime par un nombre naturel.
Cette classe satisfait evidemment aux conditions 1-3; en meme temps, d'apres l'hypothese, M n'appartient pas a Z et, par suite, Z n'est pas identique a la classe de tous les sous-ensembles de M; donc, la classe de tous les sous-ensembles de M n'est pas l'unique classe satisfaisant aux conditions 1-3 et M n'est pas fini dans notre sens, c. q. f. d.
(引用終り)
以上
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