[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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503(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/27(水)22:01 ID:qnEhNItW(8/12)調 AAS
>>491 補足
(引用開始)
無限集合を擁護する数学者にとっても、ある重要な文脈では、有限集合と無限集合の形式的区別は微妙な問題として残った。
これはゲーデルの不完全性定理に端を発している。
遺伝的有限集合はペアノ算術で解釈でき（逆もまた同様）、従ってペアノの理論体系の不完全性は遺伝的有限集合の理論にも存在することが暗に示されている。
特に、どちらの理論にもいわゆる非標準モデルの過剰が存在する。
見かけ上のパラドックスとして、遺伝的有限集合の非標準モデルは無限集合を含んでいるが、
それら無限集合はそのモデル内では有限に見える（これは、それら集合の無限性を証明するのに必要な集合や関数をモデルが持たない場合に生じる）。
不完全性定理があるため、一階述語論理やその再帰的適用では、そのようなモデルすべての標準部分を特徴付けることができない。
従って、一階述語論理の観点からは、有限性をおおよそ特徴付けることしか望めない。
(引用終り)
てこと
一階述語論理か
それ以上の高階述語論理なのかに無自覚ならば
所詮、有限と無限とをきちんと区別できない
それを知らずに議論するあわれな落ちこぼれたち
あわれな”なんとかさん”と同類じゃね！？ｗ（＾＾；
554(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/01(日)07:53 ID:id6ENHqe(1/6)調 AAS
>>503 補足
>一階述語論理か
>それ以上の高階述語論理なのかに無自覚ならば
>所詮、有限と無限とをきちんと区別できない
>それを知らずに議論するあわれな落ちこぼれたち
>あわれな”なんとかさん”と同類じゃね！？ｗ（＾＾；
（まとめ引用）ｗ（＾＾
>>251より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイム-スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム-スコーレムの定理（英: Lowenheim-Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。
もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。
レーヴェンハイム-スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。
例えば、線型順序の完備性は実数が完備な順序体であることを特徴付けるのに使われるが、その線型順序の完備性は一階の性質ではない。
>>491より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88
有限集合
(抜粋)
基礎付け問題
無限集合を擁護する数学者にとっても、ある重要な文脈では、有限集合と無限集合の形式的区別は微妙な問題として残った。
これはゲーデルの不完全性定理に端を発している。遺伝的有限集合はペアノ算術で解釈でき（逆もまた同様）、従ってペアノの理論体系の不完全性は遺伝的有限集合の理論にも存在することが暗に示されている。
つづく
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