[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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494(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/27(水)21:00 ID:qnEhNItW(4/12)調 AAS
>>493
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイム?スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム?スコーレムの定理（英: Lowenheim?Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
例と帰結
自然数を N、実数を R とする。この定理によれば、(N, +, ×, 0, 1) の理論（真の一階算術の理論）には非可算なモデルがあり、(R, +, ×, 0, 1) の理論（実閉体の理論）には可算なモデルがある。
もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。レーヴェンハイム?スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。
例えば、線型順序の完備性は実数が完備な順序体であることを特徴付けるのに使われるが、その線型順序の完備性は一階の性質ではない。
つづく
495: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/27(水)21:01 ID:qnEhNItW(5/12)調 AAS
>>494
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E8%AB%96%E7%90%86
無限論理
(抜粋)
数理論理学または順序数の概念に詳しくない者はまずそちらの記事を参考にすることが推奨される。
無限論理 (むげんろんり、英: infinitary logic) は、無限に長い言明および／または無限に長い証明を許す論理である。
目次
1 概要
2 表記法に関する語および選択公理
3 ヒルベルト型無限論理の定義
4 完全性、コンパクト性、そして強い完全性
概要
いくつかの無限論理は標準的な一階述語論理とは異なる性質を持つ。特に、無限論理はコンパクト性や完全性を満たさないことが多い。
コンパクト性や完全性の概念は、有限論理においては等価であることもあるが、無限論理においてはそうではない。無限論理においては強いコンパクト性や強い完全性の概念が定義される。
この記事では、ヒルベルト型無限論理について主に述べる。
この型はかなり研究されてきており、有限論理の最も直接的な拡張を構成している。しかしながら、これらは形式化されているまたは研究対象となっている唯一の無限論理ではない。
表記法に関する語および選択公理
選択公理は（無限論理が議論されたときによくなされるのだが）実用的な分配性法則を持つために必須であるとして仮定される。
(引用終り)
以上
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