[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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48(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)14:48 ID:JrhjRl4x(19/46)調 AAS
>>31
さて、
「自然数 ノイマン構成の集合Nから、{・・・{Φ}・・・}（{}はω重）なる集合が取り出せる」話（＾＾
・自然数
ノイマン構成
0：Φ
1：{Φ｝
2：{Φ,{Φ}}→{{Φ}}（一番右以外のΦを除く。{}は2重）
3：{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}→{{{Φ}}}（一番右以外のΦを除くことを繰返す）
・
・
n：{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・}→{・・{Φ}・・}（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はn重）
・
・
ω：N＝{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・・}→{・・・{Φ}・・・}（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はω重）
自然数 ノイマン構成の集合Nから、{・・・{Φ}・・・}（{}はω重）なる集合が取り出せる
これが、ツェルメロ構成のω {・・・{Φ}・・・}（{}はω重）に相当しますね
つまり、ノイマン構成とツェルメロ構成とは、一対一に対応していますよ。当たり前ですが（＾＾
なので、ノイマン構成でωが可能なら、ツェルメロ構成でそれに相当する集合ωが存在し得るのです
ここで、
”（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はn重）”とか
”（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はω重）”とかは
分出公理（下記）を（繰り返し）使うと思います
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
(抜粋)
この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[1]。
http://tech-blog.rei-frontier.jp/entry/2017/11/02/102042
Rei Frontier Tech Blog
2017-11-02
ZFC公理系について：その1
(抜粋)
分出公理と共通部分
次の公理を導入しましょう。
(Set6') 分出公理
∀a∃b∀x(x∈b⇔x∈a∧P(x)).
"普通の言葉"で述べると、
「任意の集合aに対して、P(x)が成り立つようなaの元xの全体からなるaの部分集合bが存在する」といえます。
番号にダッシュ'がついているのは、分出公理は後々に出てくる公理から証明されるので、ZFCに数える必要がないためです。
外延性公理によってこのようなbは確定し、
{x∈a?P(x)}
と表されます。
(引用終り)
49(2): 2019/10/05(土)14:57 ID:kZwmbLNI(23/44)調 AAS
>>48
＞ω：N＝{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・・}→{・・・{Φ}・・・}（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はω重）
◆e.a0E5TtKEさん、あなたの躓いた石を見つけましたよ
N={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・・}に一番右の要素は存在しません
したがって、そのやり方では
{・・・{Φ}・・・}
はできません
＞つまり、ノイマン構成とツェルメロ構成とは、一対一に対応していますよ。当たり前ですが
自然数の範囲では一対一に対応しますが、
Nに対する{・・・{Φ}・・・}は存在しません
「最大の自然数は存在しない」と理解している人なら当たり前ですが
（逆にいえば、当たり前でない人は、最大の自然数がある、と誤解している）
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