[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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42(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)14:02 ID:JrhjRl4x(16/46)調 AAS
>>6
(引用開始)
ID:kZwmbLNIさん
現代数学はインチキのデパート
2chｽﾚ:math
(抜粋)
ｍ∈Nで、ｍは自然数であるなら
0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・m∈N＝ω
は”明らかに”有限長です。
(引用終り)
と解釈することで折り合いを付けた
ここは、ちょっと異論があるのですが、後で（＾＾
(引用終り)
ここに戻ります
最小の超限順序数 ωは、極限点です。集積点とも言います
T1-空間（＝”任意の相異なる二点が分離できる”。実数Rはそうです）では
集積点ωは、”任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である”
つまり、閉区間[0,1]内の数列
0=1-1/1,1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・
を考えます。n→∞で、1-1/n→1に収束します。そして、[0,1]の点1は、集積点です
もうお分かりでしょう。1-1/nが順序数nに対応し、点1は∞つまり順序数nに対応します
点1は集積点で、”任意の近傍が S の点を無限に含む”ですから、閉区間[0,1]の内側に少しでも入れば
無限の1-1/nたちを含みます。無数の順序数nたちを含みます
なので、あなたの上記証明は、「ωは、極限点」という性質を反映していませんね
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω
(抜粋)
特徴付け
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
・順序数全体の成す類（クラス）において順序位相に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9
集積点/極限点
(抜粋)
集積点あるいは極限点は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念
定義
位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す
この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である
https://ja.wikipedia.org/wiki/T1%E7%A9%BA%E9%96%93
T1空間
(抜粋)
X が T1-空間であるとは、X の任意の相異なる二点が分離できるときに言う
(引用終り)
51(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)15:11 ID:JrhjRl4x(21/46)調 AAS
>>49
>◆e.a0E5TtKEさん、あなたの躓いた石を見つけましたよ
>N={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・・}に一番右の要素は存在しません
いえいえ
極限ですよ
有限の
n：{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・}→{・・{Φ}・・}（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はn重）
ここで、n→∞とする
n→∞の極限を正統化するのが、無限公理でしょ（＾＾
n→∞の極限が分からないと、>>42の極限順序数 ωが集積点であるということが理解できない
52(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)15:17 ID:JrhjRl4x(22/46)調 AAS
>>42
補足します
閉区間[0,1]内の数列
0=1-1/1,1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・
を考えます。n→∞で、1-1/n→1に収束します。そして、[0,1]の点1は、集積点です
１）nが任意の自然数では、数列は、半開区間[0,1 ）内です
２）nが自然数Nの全ての要素を渡りきって、ωに到達したときに、1-1/n→1に到達します
３）任意の1-1/nから点1の間に、無数の数列を構成する点があるということ
417(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/14(月)10:28 ID:w6tqRMw5(3/8)調 AAS
>>415 補足
この話は、すでに>>42>>52にモデルを書いておいたが
1)閉区間[0,1]内の数列
0(=1-1/1),1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・,(n→∞)1(=1-1/∞)=ω
ができる
2)同様に
閉区間[1,2]内の数列
1(=2-1/1),2-1/2,2-1/3,・・,2-1/n,・・,(n→∞)2=(2-1/∞)=ω
ができる
3)上記1)2)を直結すると
閉区間[0,2]内の数列
0(=1-1/1),1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・,(n→∞)1(=1-1/∞)=ω=(=2-1/1),2-1/2,2-1/3,・・,2-1/n,・・,(n→∞)2=(2-1/∞)=ω + ω
ができる
4)要するに、例えば
奇数列 1,3,5,・・・
偶数列 2,4,6,・・・
この2つを直結すると
1,3,5,・・・、2,4,6,・・・になる
これが、3)の閉区間[0,2]内の数列と全単射になり、ω + ωの数列になる
5)で、「1,3,5,・・・、2」から、2→1の”無限降下列”がとれるが、最小元を持つので、正則性公理（＝最小元を持たない）には反しない
QED
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