[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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291(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)13:59 ID:0oc9Ztsl(15/28)調 AAS
>>288
> ２）これは、>>175の通り、ZFCでは、対の公理で「a → {a}」が言える
補足
繰返すが、どんな集合であれ、対の公理で「a → {a}」が言えるのです
これは、公理だから、無制限に成立します（有限に限らない）
aが、たとえ無限集合でも、まとめて、the singleton set {a} にできる
回数は、無制限です
１）例えば、aが実数の集合Rで非可算無限集合としても、{R}はシングルトンです
２）そこで分り易く、素朴集合論で、おもりに例えてみよう（分かり易さは人によるけど（＾＾ ）
おもりの列：1g,2g,3g,・・ng・・
これ、全部1元集合の列で、シングルトンの列。集合の濃度は１です
しかし、おもりは重さという指標をもっている
そして、順序列を成す
1g<2g<g3<・・<ng<・・ （可算自然数N内とします）
です
３）そして、重さという指標の順序列で、極限で極限順序数ωが可能
４）それには、>>287みたく二次元の指標 (x,y)を使えば良い（下記 直積集合上の順序「辞書式順序」 ご参照）
(0,1g)<(0,2g)<(0,3g)<・・<(0,ng)<・・<(1,1g)<(1,2g)<(1,3g)<・・<(1,ng)<・・
とすれば良い
この場合、(0,ng)<・・の後の、最初の(1,1g)がωに相当します。順序型という意味の対応でね
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88
順序集合
直積集合上の順序
・辞書式順序: (a,b) <= (c,d) ⇔ a<c ∨ (a=c ∧ b<=d)
つづく
292(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)14:00 ID:0oc9Ztsl(16/28)調 AAS
>>291
つづき
（追加参考）
http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/
Prof. Dr. YUJI YOSHINO
Department of Mathematics
Faculty of Science
Okayama University
http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/oldlectures.html
Teaching (in Japanese) Old Lectures
http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/pdffiles/syuugouron.pdf
２００３年度「代数基礎」講義(２回生用）YUJI YOSHINO 岡山大
集合の記号になれる
(抜粋)
P11
3.2 順序数
? 各整列集合の同型類にひとつずつ「名前」をつける。与えられた整列集合が属する同型類の名前をその整列集合の順序数という。
? 有限整列集合 {1, 2, . . . , n} の順序数を n と書く。（心は nth の意味。）
? 整列集合 N の順序数を通常 ω で表す。
? 辞書式順序の定義。
? S と T が整列集合のとき，辞書式順序で S × T もまた整列集合である。
? 順序集合の合併。
? S と T が整列集合のとき，その合併 S + T もまた整列集合である。
? S と T が整列集合で，それぞれの順序数が α, β のとき，その和 α + β を S + T の順序数，その積
α ・ β を S × T の順序数として定義する。
例題 3.2.1 n ∈ N について，n + ω = ω である。一方， ω + n 6= ω である。理由を考えよ。
例題 3.2.2 n ∈ N について，n ・ ω 6= ω ・ n である。実際，ω ・ 2 = ω + ω, 2 ・ ω = ω である。
定理 3.2.3 (整列集合の比較定理) 二つの整列集合 S と T があるとき，つぎのどれかひとつだけが必ず
成立する。
(1) S と T は順序同型である。
(2) a ∈ S が存在して，S < a > と T は順序同型である。
(3) b ∈ T が存在して，S と T < b > は順序同型である。
? S と T の順序数がそれぞれ α, β であるとする。(1) 〜 (3) の状況のとき，それぞれ α = β, α > β,
α < β と定義する。
系 3.2.4 (順序数の比較可能定理) α, β が順序数のとき，α = β, α > β, α < β のどれかひとつだけが必
ず成立する。
例題 3.2.5 1 < 2 < ・ ・ ・ < ω < ω + 1 < ・ ・ ・ < ω ・ 2 < ω ・ 2 + 1 < ・ ・ ・ < ω ・ 3 < ・ ・ ・ < ω ・ ω < ・ ・
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