[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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275(8): 2019/10/12(土)08:10 ID:Ty9mG3gK(1/4)調 AAS
>>272
では
{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
には最大値が存在してしまうのでは？
∵) 最大値がないとする。
任意にmをとるとき長さmの列
xmn‥∈ xm3∈ xm2∈xm1, Ω=xm1
が存在するが
全てのm,l≧1でΩ=xm1=xl1なのでこれをx1とおく。
全てのm≧2でxm2∈x1、x1はsingletonなのでxm2は共通。これをx2とおく。
全てのm≧3でxm3∈x2、x1はsingletonなのでxm3は共通。これをx3とおく。
‥‥
この時‥‥x3∈x2∈x1は無限降鎖列により正則性公理に矛盾。□
正則性公理は外せないけどもう少しうまくやればACも外せるし。
276(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)09:18 ID:0oc9Ztsl(7/28)調 AAS
>>275
どうも。レスありがとう
>{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
>には最大値が存在してしまうのでは？
別に言い訳するつもりはないけど
>>272で同意したのは、
ツェルメロ構成では、「どこまで行っても単元集合しか出てこない」ということなのです
で、あなたの
{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
に対して
>>266では
F(X)={Y|∃x1∈ x2∈ x3∈‥xn Y=x1, X=xn}
だったでしょ
つまり、順序が逆
例えば
1,2,3,・・・,n
は上昇列だが
-n,・・・,-3,-2,-1
降下列です
公理的集合論から、自然数N（0,1,2,3,・・・,n,・・）が得られた後に
整数Zを構成して、負数 -n,・・・,-3,-2,-1 なる降下列の構成（無限降下列も可）は、ありでしょう
いま、問題にしていることは、公理的集合論で
空集合Φから、後者関数のみを使って、作った集合で∈順序がどうなるか（無限降下列が存在するかどうか）？
それは、後者関数の作り方にもよるけど、選択公理（あるいは可算選択公理）にも関連しているらしい（>>269）（＾＾
（もちろん、正則性公理も重要）
そして、たとえ有限を扱っていても、青天井（いくらでも大きな）なら、
「いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない」
（レーヴェンハイ-スコーレムの定理）みたいなことになる（>>251）
で、まとまらないけど、
要するに、負数 -n,・・・,-3,-2,-1 なる降下列は、今論じている∈順序とは別と思う（おそらく一般的な順序型の議論になる）
これ以上の細かい議論は、>>266 ID:YULRpgNc さんとよろしく
（もしあなたと同一人物ならご容赦）
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイ-スコーレムの定理
(抜粋)
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。
この事実を定理の一部とする場合もある。
278(1): 2019/10/12(土)09:26 ID:9mz947Hb(1/3)調 AAS
>>276
>>275の証明中にでてくる集合にはF(Ω)しかでませんよ？
向き関係ありません。
まだ無限列は出てきてないし。
279(1): 2019/10/12(土)09:30 ID:9mz947Hb(2/3)調 AAS
集合の元ね。
F(Ω)の元しかありません。
もし>>275の証明に納得がいかないなら証明中の
××はsingletonであるから
という下りのところがおかしいという説ですが、ここにF(Ω)の元しか出てこないのはわかりますか？
282(1): 2019/10/12(土)10:00 ID:9mz947Hb(3/3)調 AAS
いや、>>275の証明について行ってるんですよ。
では順に行きましょう。
xm1がΩなので共通なのはいいでしょ？
次にxm2(m≧2)について全てのmについて
xm2∈x1=Ω、かつΩがsingletonなのでxm2は共通。
すなわち
x22=x32=x42=‥‥
なのは認めますか？
284(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)10:07 ID:0oc9Ztsl(12/28)調 AAS
>>282
どうぞ、>>275の方とお願い致します。
287(3): 2019/10/12(土)10:30 ID:zrApsl4A(1)調 AAS
>>275みたいに全部数式だと無理なのかな？
長さに上限がないとすると各自然数に対して
Ω=x11
Ω=x21∋x22
Ω=x32∋x32∋x33
Ω=x41∋x42∋x43∋x44
‥‥
が取れる。
どの列も長さ有限。昇順も降順もない。
するとここに出てくるxijは>>266を認めると全部singletonになるので縦に並んでる元が全部同一になってしまう。
するとxiiを並べてできる列が
x11∋x22∋x33∋‥‥
を満たしてしまうんだけど？
302(2): 2019/10/12(土)17:14 ID:Vy+smElV(2/8)調 AAS
>>301
当面正則性の公理なんて関係ありません。
主張しようとしてるのは
>>275の主張
{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
には最大値が存在する。
です。
そこで背理法を使ってるんですよ。
焦らず一歩づついきましょう。
もしこの結論を否定するとそれから
X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]}
が全てのmについて空集合とならない事が導かれるという主張なんです。
ここまででどこが納得いきませんか？
303: 2019/10/12(土)17:25 ID:Vy+smElV(3/8)調 AAS
もしかして>>275の主張がわかってないのかな？
もう少し丁寧に書けば
--- claim ---
S={ n | ∃(x1,x2,‥,xn), Ω=x1, x[i]∋x[i+1]}
には最大値が存在する。
---
です。
今これを背理法を用いて証明するためにSが最大値を持たないと仮定しています。
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