[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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236(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/10(木)18:39 ID:K6AlmfoH(3/5)調 AAS
>>233 補足
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%84%A1%E9%99%90
デデキント無限
(抜粋)
数学において、集合A がデデキント無限（Dedekind-infinite）である、またはデデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。つまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。集合 A がデデキント無限でないとき、デデキント有限であるいう。
デデキント無限は、自然数を用いないような最初の無限の定義である。選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない[1]。デデキント無限以外にも、選択公理を用いない有限集合や無限集合の定義が存在する。
目次
1 通常の無限集合の定義との比較
2 ZFにおけるデデキント無限
3 歴史
4 選択公理との関係
5 可算選択公理を仮定した無限との同値性の証明
6 一般化
7 引用文献
8 参考文献
通常の無限集合の定義との比較
デデキントの意味での“無限集合”は、普通の意味での無限集合と比較されるべきであろう:
集合A が無限であるとは、どのような自然数 n に対しても、{0,1,2,..., n -1}（有限順序数）と A との間に全単射が存在しないことである。
無限とは、全単射が存在しないという意味で文字通り有限でないという集合である。
19世紀後半、多くの数学者はデデキント無限であることと通常の意味の無限は同値であると単純に考えていた。しかし実際は、選択公理（“AC”）を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系（通常、“ZF”と表記される）からは、その同値性は証明されえない。弱いACを使うことで証明でき、フルの強さは要求されない。その同値性は、可算選択公理（“CC”）より真に弱い形で証明できる。
つづく
237(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/10(木)18:40 ID:K6AlmfoH(4/5)調 AAS
>>236
つづき
一般化
圏論的な言葉で表現すれば、集合 A は集合の圏においてすべてのモノ射 f: A → A が同型射であるときにデデキント有限である。フォン・ノイマン正則環 R が（左あるいは右）R-加群の圏において同様の性質を持つことと、R において xy = 1 ならば yx = 1 が成り立つことは同値である。
より一般に、デデキント有限環 (Dedekind-finite ring) は、この条件（xy = 1 ならば yx = 1）を満たす環のことである。台集合がデデキント無限であっても環はデデキント有限となりうることに注意。例えば整数環。正則加群 RR がホップ的（すなわち任意の全射自己準同型が同型）であることと R がデデキント有限であることは同値である。
https://ring-theory-japan.com/ring/oldmeeting/2006/report2006/39ring-sympo/19.pdf
VON NEUMANN REGULAR RINGS WITH COMPARABILITY MAMORU KUTAMI Yamaguchi University 久田見 守（山口大学）第３９回環論および表現論シンポジウム（２００６年）
(抜粋)
1. 正則環における比較可能性と有限性
正則環は1936 年ノイマンによって連続幾何学の研究から見出された環であり、1950 年
代から1960 年代にかけての内海による商環の存在性の考察により、多数の正則環が存在
することが知られるようになった。そして、1960 年代後半に入り、有限条件と呼ばれる
ダイレクト・ファイナイト性やユニット正則性の研究が始められるようになった。ダイレ
クト・ファイナイト性はノイマン有限性或いはデデキント有限性とも呼ばれており、可換
環やネーター環及びアルチン環がダイレクト・ファイナイト環であることはよく知られて
いる。ユニット正則性は1968 年G.Ehrich によって与えられた概念である。ユニット正
則性やダイレクト・ファイナイト性は、正則環研究における重要な有限条件と呼ばれてい
る。何故これらの概念が有限性と呼ばれるかは、次の定理3 の性質を持つからであると推察される。
(引用終り)
つづく
242(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/10(木)20:36 ID:JCH5uyU5(5/7)調 AAS
>>236-237
そもそも、>>235って、論点ずれていると思うよ
>>236-237に引用したように
１）そもそも、無限にもいろいろありましてｗ
無限を扱う公理の強さによって、多種の無限が生じ、区別ができないこともある
２）その中で、ZFCのフルパワー選択公理を採用すれば
デデキント無限などで、可算無限は、一意に決まるのです（整列可能定理でもありますし）
３）しかし、アレフ0の次にカントールが導入したアレフ１について
連続体仮説では、アレフ0とアレフ１との中間には、濃度としての無限はないのだという
これは、ZFCとは独立なので、ZFC中では、アレフ0とアレフ１との中間の濃度は否定できない
４）要するに、論点は、まずは、無限を扱う公理の強さ、フルパワー選択公理を採用するかどうか？
そして、ZFCのフルパワー選択公理を採用したら、可算無限は、一意に決まるってことですよ
可算無限については、”Zermelo ordinal number”の定義の仕方で左右されるとかうんぬんとかの話じゃないでしょｗ（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E4%BB%AE%E8%AA%AC
連続体仮説
連続体仮説の表現
自然数より真に大きく、実数より真に小さいサイズの集合がない、ということを連続体仮説は述べている。
もう少し正確には連続体仮説は「自然数を含むような任意の実数の部分集合は、実数との間に全単射が存在するか、自然数との間に全単射が存在するかのいずれかである」とも言い表せる。
公理的な立場から重要なことは、ZFC と連続体仮説は独立であるということである。
つまり ZFC に連続体仮説を付け加えた公理系も無矛盾であり、ZFC に連続体仮説の否定を付け加えた公理系も無矛盾である。連続体仮説は ZFC においては真としても偽としてもよいともいえる。
1963年、ポール・コーエンは強制法と呼ばれる新しい手法を用いて「ZFC から連続体仮説を証明することは出来ない」ことを示した。
コーエンはこの業績により、1966 年にフィールズ賞を受賞している。
297: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)15:26 ID:0oc9Ztsl(19/28)調 AAS
>>294
再度まとめておきます
現代数学の無限の議論で、
１．整列可能定理と関連して、デデキント無限とかの関連で（>>236-238）どこまでの強さの選択公理を採用するか（>>283）の問題がある
可算選択公理＜従属選択公理＜選択公理＜連続体仮説
ですね。決定性公理は、別の系統なのでしょうね
２．レーヴェンハイム-スコーレムの定理に関連して（>>251-252）
一階述語論理に限定するのか？ それとも、二階以上の高階述語論理を採用するのか？
ゲーデル先生ご存命の20世紀前半は一階述語論理全盛で、「二階以上はパラドックスのおそれあり」で忌避されていた傾向あり
ところが、いろいろあって、圏論などもその1つと思うが、「二階以上もやろう」という流れができた
３．あと、逆数学なんて流れもあるようです（「現代数学の全部を網羅する公理系ではなく、分野毎に特化した公理系」なのでしょうかね？）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E6%95%B0%E5%AD%A6
逆数学
(抜粋)
逆数学とは、数学の定理の証明に必要な公理を決定しようとする数理論理学のプログラムである。簡単に言えば、通常の数学が公理から定理を導くのとは逆に、「定理から公理を証明する」手法を用いることが特徴である。
「選択公理とツォルンの補題はZF上で同値である」、というような集合論の古典的定理は、逆数学プログラムの予兆となるものだった。しかし、実際の逆数学では主に、集合論の公理ではなく、通常の数学の定理を研究するのを目的とする。
逆数学は大抵の場合、2階算術について実行され、定理が構成的解析と証明論に動機付けられた2階算術の部分体系のうち、どれに対応するのかを研究する。 2階算術を使うことで、再帰理論からの多くの技術も利用できる。
実際、逆数学の結果の多くは、計算可能性解析の結果を反映している。
逆数学は、Harvey Friedman (1975, 1976)によってはじめて言及された。基本文献は(Simpson 2009)を参照。
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