[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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180(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)20:18 ID:d8OQiN+r(22/27)調 AAS
>>175
商集合は、分出公理を使うのか
https://unaguna.jp/article/archives/25
U-naguna
シリーズ: 集合論の言葉を使おう (準備編) > 同値関係と同値類
(抜粋)
同値類
例として「偶奇という点で同じ」ことを表す同値関係を定義しよう。その場合たとえば
M={?x,y?∈ω×ω?∃z∃w[x+2z=y+2w]}
と定義すればよい (
この定義の下では xMy であることと、x+2z=y+2w を満たす自然数 z, w が存在すること (x と y が2の倍数加算の違いを除いて一致すること) が一致する。
定理 2.上で定義した関係 M は同値関係である。
M の定義文の中の 2 の部分を他の非零自然数 n に変えることで「n で割った時の余りという点で同じ」ことを表す関係も作れる。自然数同士のそのような関係は n を法とする合同関係と呼ばれる。
2 の部分を 0 にすると、aMb と a=b が一致するので、通常の「等しい・同じ」を表す関係になる。
同値類
同値類は同値関係 R によって同じと見なされるモノだけがすべて属する集合である。例えば上で例示した ω 上の同値関係 M の同値類を考えると
Mo={1,3,5,7,9,…}
Me={0,2,4,6,8,…}
という二つの同値類がある。たとえば 1M3 だから 1 と 3 は同じ同値類に属し、2M3 ではないから 2 と 3 は異なる同値類に属する。
同値類は、それに属する1つの元を用いて表すことができる。R を x 上の同値関係としたとき、「a と同値なモノがすべて属し、そうでないモノは属さない集合」である
{y∈x?yRa}
は a の同値類と呼ばれ、[a] や [a]R と書く。
例えば上の Mo は「1が属する同値類」という意味で [1] とも表現する。
1が属する同値類と3が属する同値類は同じ Mo を指しているので [1]=[3] である。
この例の 1 や 3 のように同値類に属するモノのうち同値類の表現に使われたモノをその同値類の代表元とよぶ。
原則としてどのモノを代表元に選んでもよい。
商集合
商集合は、同値関係 R による同値類だけがすべて属する集合のことである。
つづく
181(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)20:20 ID:d8OQiN+r(23/27)調 AAS
>>180
つづき
定義 5 (商集合).R を x 上の同値関係とする。このとき、「R による同値類がすべて属し、それ以外のモノが属さない集合」である
{y∈P(x)?∃a[a∈x∧y=[a]R]}
を商集合とよび x/R と書く。
商集合は直感的な内包的記法を使えば
{[a]⊂x?a∈x}
とも書けるだろう。こう書くほうがどのような集合かわかりやすいかもしれない (分出公理によって存在が保障されることはわかりにくいが)。
上で例示した ω 上の同値関係 M について考えると、その同値類は Mo と Me の2つであったので、商集合は
ω/M={Mo,Me}
となる。適当に代表元を定めて
ω/M={[0],[1]}
とも書ける。
http://home.p07.itscom.net/strmdrf/basic_com2.htm
数学の基礎
19．素朴集合論とZF集合論
さて、集合の概念で、最も便利な性質、すなわち任意に命題 P が与えられたとき、P を満たす x 全体の集合、というものを考えたいのですが、これをそのまま公理にしたのでは、Russellのパラドクスにより矛盾が生じてしまいます。
そこで、通常の数学で、このような集合を考えたいときには、いつもどのような状況にあるかということを考えると、既に集合であることがわかっている a の元のうち、P を満たすようなもの全体からなる集合、というものを考えていることがわかります。そこで、分出公理：
∀a ∃b ∀x [ x∈b U ( x∈a ∧ P ) ]
を仮定しよう、という考え方があります。このような集合 b は、外延性公理により唯一つであることが証明できますから、これを { x∈a | P } と書きます。なお、ここで素直に「仮定します」と言わなかったのは、次のような、別の場面で必要となる公理があり、この分出公理はそこから導出できるからです。
つづく
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