[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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18(8): 2019/10/05(土)11:14 ID:o3KPqddg(2/8)調 AAS
一部修正して再掲
ーωの定義ー
順序対<x,y>の定義
∀z <x,y>:⇔z=x ∨ (∀w w∈z ⇔ w=x ∨ w=y)
関数の定義
f:x→y:⇔∀z ∀a∈x ∃!b∈y <a,b>∈f
関数が単射の定義
f:x→y is injective:⇔∀a b c <a,c>∈f ∧ <b,c>∈f⇒a=b
関数が全射の定義
f:x→y is surjective:⇔∀b∈y ∃a∈x <a,b>∈f
xが有限集合の定義
x:finite:⇔∀f:x→x f:monic⇒f:epic
xが順序数の定義
x:ordered number:⇔∀a b c∈x a∈b ∧ b∈c ⇒ a ∈c ∧ ∀y⊂x y≠Φ ⇒ ∃a∈y ∀b∈y b=a ∨ a ∈ b
ωの定義
∀x∈ω :⇔ x:finite ∧ x:順序数
ー再掲終わりー
簡単にするために正則性の公理を利用して一部手をぬいてますがそこはお察し。
数学科で学んだ経験が無くとも普通の集合論の教科書の最初の10ページ目くらいまでに載ってる話でココまでは議論もないでしょう。
その ‘ツェルメロ構成のω’ を現代数学での議論の範囲内で議論するつもりならその ‘ω’ に現代数学でいうところの ‘well defined’ と呼べる定義を与えて下さい。
哲学の話をしたいならご自由に。
21(1): 2019/10/05(土)11:22 ID:kZwmbLNI(9/44)調 AAS
>>18
＞{{…{}…}}（{}の多重無限）を現代数学での議論の範囲内で議論するつもりなら
＞現代数学でいうところの ‘well defined’ と呼べる定義を与えて下さい。
（注：原文で‘ツェルメロ構成のω’ とあるところを
{{…{}…}}（{}の多重無限）に置き換えました）
ごもっともです。
ただ、うまく書き表せるでしょうか？私には思いつきません
1が主張されていることなので、1に全てお任せ致します。
26(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)11:42 ID:JrhjRl4x(11/46)調 AAS
>>18
どうも、ガロアスレのスレ主です（＾＾
ああ、貴方が
現代数学はインチキのデパート
2chｽﾚ:math
のID:4Fu/lmU2さんだったか（＾＾
１）もし可能なら、前スレ21とか>>18の出典 手元のテキストでもなんでも良いですが
ご紹介ください。他のROMさんたちにも、その方が良いでしょう
２）あと、分出公理、冪集合公理、無限公理その他を、私は使います。まあ、それは自分で貼りますよ
３）あと、”哲学の話をしたいならご自由に”ですね、どちらかと言えば、私はそちらです
そもそも、これは私の持論ですが、５CH数学板で、数学ゼミでやるような厳密な議論はしない方が良いと考えていますので
（それ、時間と余白のムダ。相手が誰かも分からない名無しさんとの議論は、普通に議論していても、だいたいが議論が議論が噛み合いませんしね。
「現代数学でいうところの ‘well defined’ と呼べる定義」なんて、∀と∃のてんこ盛りの式書いても、記号制限もある不便な板では、余計混乱するだけだと
まあ、落ちているそういう定義は、コピペできる範囲で、拾ってきますけど。
でも、たいてい、特殊記号の制限と文字化けで、えらく苦労しています（＾＾； ）
上記、可能な範囲で
よろしくお願いします（＾＾
30(2): 2019/10/05(土)11:55 ID:o3KPqddg(4/8)調 AAS
>>26
出展もクソも>>18の内容は数学科なら最初の2,3ヶ月目までに絶対習う内容で(順序数は微妙だけど)まさに何にでも載ってるし誰でも知ってる話だけど。
しかし俺が読んだのは確か共立出版の公理的集合論って本だったかな？
あなた掲示板だからある程度はコンセンサスとれてるとして効率的に行こうといってる。
まさにそこは正論なんだけど、だからこそ理学部数学科では自分ではコッチの方がいいかなぁと思いつつもそこは世間一般で通用してる定義を採用する。
しかしもちろんどうしてもそうでないものを採用せざるを得ない場面はあるし、その場合には必ず数学的な定定義を与えてから議論を始めないと数学にならない。
あなたのωを仮にΩと書くなら、このΩは数学の世界では全くコンセンサスは取れてません。
論理式を用いて正確に定義してください。
でなければそもそも議論が始まりません。
127(3): 2019/10/06(日)09:49 ID:Gc2q5hFd(1/4)調 AAS
>>110
> で、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}で、自然数の集合Nができるけど
> 無限公理で最初は、Nよりも大きな集合ができるんですよね、確か（下記wiki）
>
> それを、最小の無限集合に絞って小さくする操作が必要です
> 最小の無限集合に絞った結果、Nには有限の元ｎしか含まれないものができる
>
そうです。
ωの存在を公理としても良いけど公理はなるべく簡潔である方が好まれるのでそのようにしています。
そうしないといけないわけではありませんが。
具体的には例えば
ω' を
0∈ω' 、n∈ω' ⇒ n+1∈ω'
を満たすものに取れる。(∵無限公理)
ωを
ω={x∈ω' | xは有限集合かつ順序数}
と置くとωは自然数全体からなる集合となる。(∵分出公理)
QED.
のように証明できます。
ZFはBGより対象の範囲が狭く公理も弱いのでこのような構成になります。
BGなら>>18のようにもっと直接的に行けます。
(無限公理ももっと弱く取れる)
もしΩの存在も示せるというなら示してください。
それ以前にまずΩを定義して下さい。
196(2): 2019/10/07(月)18:01 ID:cEmWDLJd(1/2)調 AAS
> いわゆる自然数Nよりも、余計な元、
>、超限順序数に属するべき（有限でない）元が
> 生成され、含まれていることに同意しますか？ Y/N
> に対して、Yだと回答されたということですね
いわゆる無限公理によって条件
0∈E、∀x (x∈E⇒x∪{x}∈E)
を満たすEの存在は認めます。
> では、この超限順序数に属するべき（有限でない）元とは、何なのでしょうか？
このってどのですか？
それが分からないので以下はわかりません。
このEからΩを作るんですよね？
なら言葉ではなく例えばノイマンのωのように
ω={x∈E | x:ordered number, x:finite}
のように数式,論理式で示して下さい。
(:ordered number (in the sence of Neumann)と:finiteがどういう論理式で表されるかは>>18で示しています。)
数学である以上、数式で表現できず、その存在が証明できないものの存在なんて認めることはできません。
205(1): 2019/10/07(月)22:31 ID:cEmWDLJd(2/2)調 AAS
>>197
> それ、どこかで聞いたセリフかもね
> ツェルメロ以降の現代数学の100年前からの議論を、繰り返したいのですか？
そんな事はありません。
証明の全てを書く必要はありません。
そんな論文はなかなかありません。
たの論文なり教科書に載ってる結果を引用したいのなら構いません。
ただしその場合には数学の引用のルールに従って下さい。
引用する結果は
仮定 xがP(x)という条件が満たしているときQ(x)という条件がせいりつする。
の形の命題がxxxという論文、教科書等(この際websiteでもよし)で確認されている事が客観的に確認できる状況において
この命題をx=aについてapplyすればP(a)が確かに確認できるのでQ(a)を使う。
という形までしか許されません。私の>>18を見て下さい。
全部が全部証明はしてないでしょ？
206(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/08(火)00:10 ID:3SQHWkr4(1/5)調 AAS
>>205
＞という形までしか許されません。私の>>18を見て下さい。
ああ、>>18をアップした人だったのかい？（＾＾
>たの論文なり教科書に載ってる結果を引用したいのなら構いません。
まあ、探してみるけどね
おれさ、おっちゃんみたいに、こんなバカ数学板に、ぐだぐだ記号で証明書く趣味ないんだよね
そもそもがさ、書かれた証明が初出なら、タイポとかありうるでしょ
で、真剣に読んだら、あっちにタイポ、こっちにタイポじゃ、赤ペン先生の添削やっているのと変わらんでしょ
まあ、自分が書いたら、もっと非道いだろうけどね（＾＾；
えーと、それで>>197に書いたけど
(引用開始)
じゃあ、それ、通常の自然数で、N⊂E かつ N≠Eですね
つまり、EはNに対して、真に大きい
つまり、EはNに対して、余分な元を含む
つまり、Nは全ての有限の元を含むので、任意ｎの空集合Φに対する後者関数による{}多重の集合 {・・{Φ}・・}（n回{}多重）を含むので、それ以外の余分な元を含む
それは、消去法で、有限でない元、つまり超限なる（整列したときに超限順序に属する）元ですよね
(引用終り)
これは、認めるんだね
念を押しておくよ
「EはNに対して、余分な元を含む」
「Nは全ての有限の元を含むので、任意ｎの空集合Φに対する後者関数による{}多重の集合 {・・{Φ}・・}（n回{}多重）を含むので、それ以外の余分な元を含む」
「それは、消去法で、有限でない元、つまり超限なる（整列したときに超限順序に属する）元です」
ってことな
221(1): 2019/10/09(水)12:34 ID:rFFSRADX(1)調 AAS
>>216
ダメですね。
まず
x: ordered number in the sence of Zermelo
が論理式として定義されていません。
>>18の定義にある通り、そここそがNeumannのordered numberのすごいところで多くの基礎論における順序数の構成でNeumannのスタイルが採用される所以です。
まぁ仮にそこがなんとかなったとしても
E'={0',1',2'‥‥}∪{他の元}
からZermelo ordered number以外を切り落としてもえられるのは
{0',1',2',‥}
の形にしかなりません。
コレはΩではないですよね？
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