[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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164(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:53 ID:d8OQiN+r(13/27)調 AAS
>>163 補足
＞ωから始まる∈無限降下列が存在すると言いたいなら、その列の第2項（ωの次の項）を示して下さい
(>>154より）
von Neumannで、自然数Nが構成できる（下記）
無限降下列
0∈1∈2・・∈N
ノイマン構成では、N＝ωです
ωが、極限順序数で、位相的に集積点（極限点）であり、任意の近傍が S の点を無限に含むということを、ご理解ください
特に、”任意の近傍が S の点を無限に含む”が理解できないのかな？
（参考）
https://hc3.seikyou.ne.jp/home/Tetu.Makino/suu_no_taikei.pdf
平成26年度教員免許状更新講習テキスト
「数の体系」講師：牧野 哲 （山口大学工学部教授）2014 年 6 月 22 日
(抜粋)
P4
集合論から自然数系を構成する方法としては，
von Neumann の方法が知られている。
これは，
0 := Φ(空集合), 1 := {Φ}, 2 := {Φ, {Φ}}, ・ ・ ・ , s(n) := {0, 1, 2, ・ ・ ・ , n}, ・ ・ ・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
(抜粋)
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9
集積点/極限点
(抜粋)
定義
位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す
この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である
https://ja.wikipedia.org/wiki/T1%E7%A9%BA%E9%96%93
T1空間
(抜粋)
X が T1-空間であるとは、X の任意の相異なる二点が分離できるときに言う
(引用終り)
165(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:59 ID:d8OQiN+r(14/27)調 AAS
>>164 追加
（参考）
現代数学はインチキだらけ より
2chｽﾚ:math
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
(抜粋)
その他の性質
(X, <) が整礎関係で x が X の元ならば、x から始まる降鎖列は必ず長さ有限だが、これはこのような降鎖の長さが有界であるということを意味しない。
以下のような例を考えよう。X は正の整数全体の成す集合に、どの整数よりも大きな 整数ではない新しい元 ω を付け加えた集合とする。
このとき X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。なんとなれば、任意の正整数 n に対して
ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1
という鎖は長さ n を持つ。
モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma) によれば、集合要素関係 (set membership) は普遍的な整礎関係である。つまり、クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる。
(引用終り)
（英語版）
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-founded_relation
Well-founded relation
(抜粋)
Other properties
If (X, <) is a well-founded relation and x is an element of X, then the descending chains starting at x are all finite, but this does not mean that their lengths are necessarily bounded.
Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer.
Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1 has length n for any n.
The Mostowski collapse lemma implies that set membership is a universal among the extensional well-founded relations: for any set-like well-founded relation R on a class X which is extensional, there exists a class C such that (X, R) is isomorphic to (C, ∈).
(引用終り)
166(1): 2019/10/06(日)14:06 ID:9PvOfF3Z(5/10)調 AAS
>>164
質問は「ωの次の項は何か？」です
講釈は要らないので単純に端的にωの次の項を答えて下さい
171(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)15:34 ID:d8OQiN+r(17/27)調 AAS
>>170
>数列 an には最後の項 a∞ はありません
>一方第2項 a2 はあります
これは酷い
>>165より
”(X, <) が整礎関係で x が X の元ならば、x から始まる降鎖列は必ず長さ有限だが、これはこのような降鎖の長さが有界であるということを意味しない。
以下のような例を考えよう。X は正の整数全体の成す集合に、どの整数よりも大きな 整数ではない新しい元 ω を付け加えた集合とする。
このとき X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。なんとなれば、任意の正整数 n に対して
ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1
という鎖は長さ n を持つ。”
意味分かりますか？
>>164より
(>>154より）
von Neumannで、自然数Nが構成できる（下記）
無限降下列
0∈1∈2・・∈N
ノイマン構成では、N＝ωです
ωが、極限順序数で、位相的に集積点（極限点）であり、任意の近傍が S の点を無限に含むということを、ご理解ください
特に、”任意の近傍が S の点を無限に含む”が理解できないのかな？
意味分かりますか？
ええ、上記いずれの場合も、第1項 a1＝ω はありますよ
198: 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/07(月)19:03 ID:rpPbPz0q(1/7)調 AAS
やれやれ
「ハゲネズミ」の由来について、HPのリンク張ろうとしたら
NGワードで規制食らってやっと復活したぜｗ
>>161
>ωから始まる∈無限降下列が存在すると言いたいなら、その列の第2項（ωの次の項）を示して下さい
>>163 馬鹿曰く
>その質問は、哀れな素人さんの無限に関する質問に類似
安達の「最後の自然数は存在しない」という主張のことなら、全く間違ってない
>>164 馬鹿曰く
>ωが、極限順序数で、位相的に集積点（極限点）であり、任意の近傍が S の点を無限に含む
上記の文で何をいいたいのか？
貴様の{・・{Φ}・・}では、どの自然数ｎも要素にならんから無意味
>>165 馬鹿、恒例のコピペ
(整礎関係 wikipedia)
>ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。
>なんとなれば、任意の正整数 n に対して
>ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1
>という鎖は長さ n を持つ。
「長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。」としか書いてないぞ
そこから「長さ無限の降鎖列がとれる」と思うのは正真正銘の馬鹿
272(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)07:50 ID:0oc9Ztsl(4/28)調 AAS
>>266
ども、レスありがとう
>どこまで行っても単元集合しか出てこないとしか解釈できない希ガス。
同意です
補足説明します
普通の自然数N+ω：1,2,3,・・n,・・,ω
に対して（ωは極限順序数で>>164ご参照）
(>>210より)
ノイマン構成：1n,2n,3n,・・nn,・・,ωn
後者関数n；suc(a)n := a∪{a}
ツェルメロ構成：1e,2e,3e,・・ne,・・,ωe
後者関数e；suc(a)e := {a}
ここで、ノイマン構成同様に、ツェルメロ前者集合の和を取る
Σen＝{Φ,1e,2e,3e,・・n-1e}((簡便に表現した) なお、集合の濃度はn)
縦に並べると
1,1n,1e,Σe1
2,2n,2e,Σe2
3,3n,3e,Σe3
・
・
n,nn,ne,Σen
・
・
ω,ωn,ωe,Σeω
＜まとめ＞
・ωnは、ノイマンの極限順序数ω相当で、有限の前者関数nたちの和で、自然数N相当（区別のためにNnとでも）
・ωeは、ツェルメロの極限順序数ω相当で、有限の前者関数nの極限の単元集合(singleton)（順序型）
・Σeωが、ツェルメロの自然数N相当で、有限の前者関数eの和の極限の集合（濃度）
・なので、ノイマン構成では、順序型と濃度を一つの後者関数nで表現できている
対して、ツェルメロ構成での後者関数eでは、表現できるのは順序型のみ
濃度の議論には別の集合、例えば前者関数eの集合和Σenみたいなのが必要（これがツェルメロ構成の欠点）
以上
322(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/13(日)07:11 ID:sXrN/kYa(2/5)調 AAS
>>318
>無限公理によるωは、ノイマンのsuc(a)=a∪{a}の超限回繰り返しではない
>なぜなら
>ω=suc(a)=a∪{a}となるようなa（つまりωの一番右の元！）
>が存在しないから
そう！ その指摘は正しいね
ωは、下記の通り、”任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω”で、「 0 でも後続順序数でもない順序数」だ
「順序位相（英語版）に関する極限点」だから、極限を用いて考えれば良い
有限順序数のｎ→∞の極限として、ωを理解するのが分り易い
それは、ツェルメロ構成に同じだ
ノイマン後者関数の定義から、極限でωがでる
同様に、
ツェルメロ後者関数の定義から、極限でωがでる。そして、またωの後者が始まる。そう理解するのが、現代数学の正しい理解だね（＾＾
(参考>>164もご参照)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
(抜粋)
集合論および順序論（英語版）における極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。
（全ての有限）順序数からなる空でない集合の合併は最大元を持たないから、常に極限順序数である。
・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9
集積点/極限点
(抜粋)
定義
位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す
この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である
https://ja.wikipedia.org/wiki/T1%E7%A9%BA%E9%96%93
T1空間
(抜粋)
X が T1-空間であるとは、X の任意の相異なる二点が分離できるときに言う
(引用終り)
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