[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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159(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:21 ID:d8OQiN+r(9/27)調 AAS
>>155 補足
>この用語が適切かどうか不明だが
>「濃度と順序数 fujidig」では、最小元を持たない無限単調減少列という意味でしょう
>（文学的表現では、底抜けってことですね）
そういう目で見ると
>>112 坪井明人 筑波大 11 整列集合
”定理 93 (X, <) を順序集合とする．このとき次は同値である：
1. (X, <) は整列集合である；
2. (X, <) は全順序集合で，なおかつ無限降下列を持たない．”
の証明を読むと、明らかに、無限降下列＝底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味ですね
もちろん、>>155 「濃度と順序数 fujidig」さんのP17 命題 4
”整列集合 X から無限強単調減少列”もこの意味
証明で
”x0 > x1 > x2 > . . . がとれると仮定する．
すると X の部分集合
{x0, x1, x2, . . . } には最小元がないため整列性に反する．”と書いてありますからね（＾＾
160(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:26 ID:d8OQiN+r(10/27)調 AAS
>>159 つづき
なので、正則性公理にいう
”無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ ”は
底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味ですね（＾＾
これを、取り違えて
最小元を持つ、順序数の無限列に適用して、
「正則性公理に反する」とかは、いけませんね（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理
(抜粋)
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・任意の空でない集合xに対して、∃y∈x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ は存在しない。
(引用終り)
189(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/07(月)06:37 ID:2lTTrhZd(2/3)調 AAS
まとめます
１）正則性公理は、無限降下列を禁止するが、その無限降下列の意味は、
”無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ ”は
底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味です
ノイマンの自然数構成のような∈関係の無限上昇列を禁止するものではないのです
（>>159-160ご参照）
２）空集合から、後者関数を適用し、それに無限公理を適用して、自然数Nを構成する
このとき、無限公理を適用しただけでは、
我々の必要とする自然数N（全ての有限ｎたちのみを含む集合）より大きな集合が出来てしまう
それを、自然数Nに絞り込む操作を必要とする
つまり、無限公理により、全ての有限ｎたちを超える元が出来てしまう
そのような元たちは、１）で述べたように、正則性公理に反しないのです
（>>110-112）
３）ツェルメロ構成では、aの後者関数；suc(a) := {a} なので
この自然数構成で、全ての有限ｎたちを超える元が出来てしまう
そのような元たちを絞って、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}と、自然数の集合Nができる
そこで、全ての有限ｎたちを超える元たちの中で、最小の元が、ツェルメロ構成でのωに相当します（定義）
（>>110>>151）
４）ところで、正式な順序数ωの定義は、本来は、下記”整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法”による
ノイマン構成では、この定義がそのまま適用できる
ツェルメロ構成では、下記”順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できる”ので
その方法により、ωを定義した上で、３）のツェルメロ構成でのωを再定義すれば良い
QED
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法によって
略
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............
つづく
311(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)22:08 ID:0oc9Ztsl(26/28)調 AAS
>>309
>{{…}} は正則性公理に反するのでZF内には存在できません
（>>189より）
正則性公理は、無限降下列を禁止するが、その無限降下列の意味は、
”無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ ”は
底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味です
ノイマンの自然数構成のような∈関係の無限上昇列を禁止するものではないのです
（>>159-160ご参照）
なお、>>310もご参照
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