[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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155(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:05 ID:d8OQiN+r(7/27)調 AAS
>>154 追加
さて、上記von Neumannで、自然数Nが構成できる
無限降下列
0∈1∈2・・∈N・・∈N’
とでも書きますかね
0∈1∈2・・∈N・・∈N’の部分は無限長
0∈1∈2・・∈N’の部分も無限長
上段が、正則性公理でだめなら
下段も、正則性公理でだめ（＾＾
そもそも、順序数は無限なのだから、正則性公理で規制されるものではない
ところで、下記の「濃度と順序数 fujidig」では
”無限強単調減少列
x0 > x1 > x2 > . . . ”
という用語を使っています（＾＾
この用語が適切かどうか不明だが
「濃度と順序数 fujidig」では、最小元を持たない無限単調減少列という意味でしょう
（文学的表現では、底抜けってことですね）
一方、順序数での数列には、必ず最小元を持つ。それが、無限列であっても
正則性公理で禁止しているのは、明らかに、底抜けの最小元を持たない無限単調減少列です
最小元を持つ、上昇する無限列を禁止するものではない！（＾＾
https://fujidig.github.io/
でぃぐのページ ハンドルネーム: fujidig
https://fujidig.github.io/201606-cardinal/201606-cardinal.pdf
濃度と順序数 fujidig
June 21, 2016
(抜粋)
P15
順序数というのは自然数が持つ「番号を振る」という目的を無限方向に拡張したものだといえる．
P16
・整列集合 N の型は ω と書かれる．これは最小の無限順序数である．
・順序数を小さい方から順に並べると
0, 1, 2, 3, . . . , ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, . . . , ω2, ω2 + 1, . . . となる
・今並べたのは順序数のうちほんの小さい部分にすぎない．もっと大きい順序数がまだまだある
P17
命題 4
整列集合 X から無限強単調減少列
x0 > x1 > x2 > . . . はとれない．
証明.
x0 > x1 > x2 > . . . がとれると仮定する．
すると X の部分集合
{x0, x1, x2, . . . } には最小元がないため整列性に反する．
P18
命題 5
順序集合 X ≠ Φ が整列集合であるために
は，全順序集合であって無限強単調減少列
x0 > x1 > x2 > . . . がとれないことが
必要十分．
157: 2019/10/06(日)13:12 ID:9PvOfF3Z(3/10)調 AAS
>>155
これは酷い
159(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:21 ID:d8OQiN+r(9/27)調 AAS
>>155 補足
>この用語が適切かどうか不明だが
>「濃度と順序数 fujidig」では、最小元を持たない無限単調減少列という意味でしょう
>（文学的表現では、底抜けってことですね）
そういう目で見ると
>>112 坪井明人 筑波大 11 整列集合
”定理 93 (X, <) を順序集合とする．このとき次は同値である：
1. (X, <) は整列集合である；
2. (X, <) は全順序集合で，なおかつ無限降下列を持たない．”
の証明を読むと、明らかに、無限降下列＝底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味ですね
もちろん、>>155 「濃度と順序数 fujidig」さんのP17 命題 4
”整列集合 X から無限強単調減少列”もこの意味
証明で
”x0 > x1 > x2 > . . . がとれると仮定する．
すると X の部分集合
{x0, x1, x2, . . . } には最小元がないため整列性に反する．”と書いてありますからね（＾＾
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