[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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154(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)12:48 ID:d8OQiN+r(6/27)調 AAS
>>151 追加
von Neumannで、自然数Nが構成できる（下記）
無限降下列
0∈1∈2・・∈N
が出来る
無限公理によりできる集合N’には、自然数N以上の無限大の後者が含まれている
そこから、不要元をそぎ落として、自然数Nにする
集合N’が、正則性公理に反するだと？(゜ロ゜;
（参考）
https://hc3.seikyou.ne.jp/home/Tetu.Makino/suu_no_taikei.pdf
平成26年度教員免許状更新講習テキスト
「数の体系」講師：牧野 哲 （山口大学工学部教授）2014 年 6 月 22 日
(抜粋)
P3
1.3 自然数系の（本質的）一意性
自然数系の標準的な代表として用いることにして，これを N と記す。
他の自然数系はみな，N に同型である。
P4
集合論から自然数系を構成する方法としては，
von Neumann の方法が知られている。
これは，
0 := Φ(空集合), 1 := {Φ}, 2 := {Φ, {Φ}}, ・ ・ ・ , s(n) := {0, 1, 2, ・ ・ ・ , n}, ・ ・ ・
とする。
また，Zermero の方法は，
0 := Φ, 1 := {Φ}, 2 := {{Φ}}, ・ ・ ・ , s(n) = {n}, ・ ・ ・
とする。
前者では，たとえば，3 ∈ 5 であるが，
後者では 3 not∈ 5 となり，
同じではないが，
どちらが優れているとも云いがたい。
(引用終り)
155(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:05 ID:d8OQiN+r(7/27)調 AAS
>>154 追加
さて、上記von Neumannで、自然数Nが構成できる
無限降下列
0∈1∈2・・∈N・・∈N’
とでも書きますかね
0∈1∈2・・∈N・・∈N’の部分は無限長
0∈1∈2・・∈N’の部分も無限長
上段が、正則性公理でだめなら
下段も、正則性公理でだめ（＾＾
そもそも、順序数は無限なのだから、正則性公理で規制されるものではない
ところで、下記の「濃度と順序数 fujidig」では
”無限強単調減少列
x0 > x1 > x2 > . . . ”
という用語を使っています（＾＾
この用語が適切かどうか不明だが
「濃度と順序数 fujidig」では、最小元を持たない無限単調減少列という意味でしょう
（文学的表現では、底抜けってことですね）
一方、順序数での数列には、必ず最小元を持つ。それが、無限列であっても
正則性公理で禁止しているのは、明らかに、底抜けの最小元を持たない無限単調減少列です
最小元を持つ、上昇する無限列を禁止するものではない！（＾＾
https://fujidig.github.io/
でぃぐのページ ハンドルネーム: fujidig
https://fujidig.github.io/201606-cardinal/201606-cardinal.pdf
濃度と順序数 fujidig
June 21, 2016
(抜粋)
P15
順序数というのは自然数が持つ「番号を振る」という目的を無限方向に拡張したものだといえる．
P16
・整列集合 N の型は ω と書かれる．これは最小の無限順序数である．
・順序数を小さい方から順に並べると
0, 1, 2, 3, . . . , ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, . . . , ω2, ω2 + 1, . . . となる
・今並べたのは順序数のうちほんの小さい部分にすぎない．もっと大きい順序数がまだまだある
P17
命題 4
整列集合 X から無限強単調減少列
x0 > x1 > x2 > . . . はとれない．
証明.
x0 > x1 > x2 > . . . がとれると仮定する．
すると X の部分集合
{x0, x1, x2, . . . } には最小元がないため整列性に反する．
P18
命題 5
順序集合 X ≠ Φ が整列集合であるために
は，全順序集合であって無限強単調減少列
x0 > x1 > x2 > . . . がとれないことが
必要十分．
156: 2019/10/06(日)13:12 ID:9PvOfF3Z(2/10)調 AAS
>>154
これは酷い
163(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:42 ID:d8OQiN+r(12/27)調 AAS
>>161
＞ωから始まる∈無限降下列が存在すると言いたいなら、その列の第2項（ωの次の項）を示して下さい
その質問は、哀れな素人さんの無限に関する質問に類似
ノイマン構成が理解でていませんね
どうぞ、大学教員に質問願います
高校教員でもいいかもね（>>154 平成26年度教員免許状更新講習テキスト 「数の体系」講師：牧野 哲）
164(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:53 ID:d8OQiN+r(13/27)調 AAS
>>163 補足
＞ωから始まる∈無限降下列が存在すると言いたいなら、その列の第2項（ωの次の項）を示して下さい
(>>154より）
von Neumannで、自然数Nが構成できる（下記）
無限降下列
0∈1∈2・・∈N
ノイマン構成では、N＝ωです
ωが、極限順序数で、位相的に集積点（極限点）であり、任意の近傍が S の点を無限に含むということを、ご理解ください
特に、”任意の近傍が S の点を無限に含む”が理解できないのかな？
（参考）
https://hc3.seikyou.ne.jp/home/Tetu.Makino/suu_no_taikei.pdf
平成26年度教員免許状更新講習テキスト
「数の体系」講師：牧野 哲 （山口大学工学部教授）2014 年 6 月 22 日
(抜粋)
P4
集合論から自然数系を構成する方法としては，
von Neumann の方法が知られている。
これは，
0 := Φ(空集合), 1 := {Φ}, 2 := {Φ, {Φ}}, ・ ・ ・ , s(n) := {0, 1, 2, ・ ・ ・ , n}, ・ ・ ・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
(抜粋)
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9
集積点/極限点
(抜粋)
定義
位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す
この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である
https://ja.wikipedia.org/wiki/T1%E7%A9%BA%E9%96%93
T1空間
(抜粋)
X が T1-空間であるとは、X の任意の相異なる二点が分離できるときに言う
(引用終り)
171(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)15:34 ID:d8OQiN+r(17/27)調 AAS
>>170
>数列 an には最後の項 a∞ はありません
>一方第2項 a2 はあります
これは酷い
>>165より
”(X, <) が整礎関係で x が X の元ならば、x から始まる降鎖列は必ず長さ有限だが、これはこのような降鎖の長さが有界であるということを意味しない。
以下のような例を考えよう。X は正の整数全体の成す集合に、どの整数よりも大きな 整数ではない新しい元 ω を付け加えた集合とする。
このとき X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。なんとなれば、任意の正整数 n に対して
ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1
という鎖は長さ n を持つ。”
意味分かりますか？
>>164より
(>>154より）
von Neumannで、自然数Nが構成できる（下記）
無限降下列
0∈1∈2・・∈N
ノイマン構成では、N＝ωです
ωが、極限順序数で、位相的に集積点（極限点）であり、任意の近傍が S の点を無限に含むということを、ご理解ください
特に、”任意の近傍が S の点を無限に含む”が理解できないのかな？
意味分かりますか？
ええ、上記いずれの場合も、第1項 a1＝ω はありますよ
173(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)15:56 ID:d8OQiN+r(18/27)調 AAS
>>154 追加
https://unaguna.jp/article/archives/15
U-naguna
シリーズ: 集合論の言葉を使おう (準備編) >
集合論の言葉による自然数の表現
(抜粋)
n の次の自然数を n∪{n} とする利点としては
・自然数 n に属するモノの個数は n となる
・自然数の大小関係 n<m が n∈m に一致する
ことが挙げられる。1つ目の方は後の記事で「個数とは何か」や「個数を数える (counting) とは何か」を定義する際に役立つ (今までなんとなく個数を数えてきたが、集合論の言葉でもう少しかっちりと定義することができる)。2つ目の方は、大小関係が集合論の記号だけで簡潔に表せるようになるという点で良い。
すべての自然数が属する集合
公理 2 (無限公理).
略
すなわち、「すべての自然数が属する集合」が存在する。
ここで注意すべきは、この公理で存在が証明されるのは「すべての自然数が属する集合」であって、「すべての自然数が属して、それ以外のモノが属さない集合」ではない。あくまで「すべての自然数が属する集合」が1つは存在すると言っているのである。
以降では「すべての自然数が属して、それ以外のモノが属さない集合」を「自然数集合」と呼び ω と書くことにする (文脈によっては N で表すことも多いだろう)。
つづく
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