[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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127(3): 2019/10/06(日)09:49 ID:Gc2q5hFd(1/4)調 AAS
>>110
> で、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}で、自然数の集合Nができるけど
> 無限公理で最初は、Nよりも大きな集合ができるんですよね、確か（下記wiki）
>
> それを、最小の無限集合に絞って小さくする操作が必要です
> 最小の無限集合に絞った結果、Nには有限の元ｎしか含まれないものができる
>
そうです。
ωの存在を公理としても良いけど公理はなるべく簡潔である方が好まれるのでそのようにしています。
そうしないといけないわけではありませんが。
具体的には例えば
ω' を
0∈ω' 、n∈ω' ⇒ n+1∈ω'
を満たすものに取れる。(∵無限公理)
ωを
ω={x∈ω' | xは有限集合かつ順序数}
と置くとωは自然数全体からなる集合となる。(∵分出公理)
QED.
のように証明できます。
ZFはBGより対象の範囲が狭く公理も弱いのでこのような構成になります。
BGなら>>18のようにもっと直接的に行けます。
(無限公理ももっと弱く取れる)
もしΩの存在も示せるというなら示してください。
それ以前にまずΩを定義して下さい。
133: 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/06(日)09:56 ID:zyaquwkF(8/9)調 AAS
>>127
>もしΩの存在も示せるというなら示してください。
>それ以前にまずΩを定義して下さい。
まあ、しかし、馬鹿には無理だろう
なぜツェルメロの自然数構成法が放棄されたか
馬鹿には死んでも理解できまい
要するに(超限順序数への）拡張性がなかったわけだな
195(1): 現代数学の系譜?雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/07(月)16:08 ID:ez50Rnmf(2/3)調 AAS
>>194
(引用開始)
1) 無限上昇列が正則性公理に反しないでしょ？
そんな事私は主張した事ないですよ？
2) もちろん認めてますよ？というか私自身が可能である事の証明載せましたけど？
(引用終り)
なるほど、ID:Gc2q5hFdさんの >>127 のことですかね
ワッチョイがないと、IDは日替わりで、連続性がないので、だれがだれか不明なのですよね
（せめて、コテハンがあれば、分かり易い。コテハンないと、ROMの第三者はなおさら分からないでしょうね）
で、>>127の証明に関して、念押しですけど、
（>>193より）
いわゆる自然数Nよりも、余計な元、
即ち、超限順序数に属するべき（有限でない）元が
生成され、含まれていることに同意しますか？ Y/N
に対して、Yだと回答されたということですね
では、この超限順序数に属するべき（有限でない）元とは、何なのでしょうか？
ツェルメロ構成でできる集合は、任意aの後者関数；suc(a) := {a}以外は無いですね
そして、有限回任意ｎの空集合Φに対する後者関数による{}多重の集合 {・・{Φ}・・}（n回{}多重）は、自然数Nに属します
これは、いま議論している、超限順序数に属するべき（有限でない）元では、当然ないですよね
だから、くどいですが、超限順序数に属するべき（有限でない）元、
それは、消去法で、超限回の空集合Φに対する後者関数による超限多重集合 {・・{Φ}・・}（ω＋アルファ回{}多重）
でなければならない
それはお認めになるんですよね？
ここ良いですか？
この論点がクリアーできないと、議論が進みませんので
210(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/08(火)07:22 ID:3SQHWkr4(2/5)調 AAS
>>207
>> つまり、Nは全ての有限の元を含むので、
>Nが全ての有限集合を含むわけないでしょ？
？
あなたは、>>127で
(引用開始)
ω' を
0∈ω' 、n∈ω' ⇒ n+1∈ω'
を満たすものに取れる。(∵無限公理)
ωを
ω={x∈ω' | xは有限集合かつ順序数}
と置くとωは自然数全体からなる集合となる。(∵分出公理)
QED.
(引用終り)
と書かれたでしょ？
N：自然数全体からなる集合ω
でしょ？
Nには、全ての自然数ｎが含まれるでしょ？
さてそこで
ノイマン構成で、任意aの後者関数；suc(a) :=a∪{a}と定め、また、現代数学の整列順序型（下記）を借用しましょう
整列順序型E：0,1,2,・・,n,・・,ω,ω+1,ω+2,・・,ω+n,・・
整列順序型N：0,1,2,・・,n,・・
ここに、Eは>>196での無限公理によって生成された自然数以外を含む集合を表わす記号から、Nは自然数の集合を表わす記号から
整列順序型E、Nたちは、各集合の元を整列させた順序列です（なお、ω+1などは、ωの後者ですが、略記させて頂きました。以下同じ）
同じことを、ツェルメロ構成で行います。任意aの後者関数；suc(a) :={a}と定めます
整列順序型E’：0,1,2,・・,n,・・,Ω,Ω+1,Ω+2,・・,Ω+n,・・
整列順序型N’：0,1,2,・・,n,・・
E’,Ωは、上記E,ωに対応します。N’も同様
但し、ツェルメロ構成の”0,1,2,・・,n”たちは、ノイマン構成とは後者関数が違います。が、記号の濫用です
つづく
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