[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜　カントル　超限集合論 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜　カントル　超限集合論 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/

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636: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/07(土) 15:37:50.36 ID:H2e5WMAT >>622 おサル＝ID:uZFmzNJe は、恥かきだなｗ（＾＾； 正則性公理のそこでつまずいているのかｗ （参考） Inter-universal geometry と ABC予想 42 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572150086/ 701 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/12/07(土) 09:59:15.64 ID:uZFmzNJe [3/3] >>697 ＞正則性公理には反してませんよ、ZFCに反してませんよと強調したかった しかし∈-loopsは、正則性公理とは矛盾しますけどね 「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」 というのが正則性公理ですから （それゆえ「基礎の公理」とも呼ばれる） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82 整礎関係 (抜粋) 数学において、二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。 定義 集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。 X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。 集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、∈ が x の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。 関係 R が X 上で逆整礎 (converse well-founded) または上方整礎 (upwards well-founded) であるとは、R の逆関係 R?1 が X 上の整礎関係であるときにいう。このとき R は昇鎖条件を満たすという。 例 全順序でない整礎関係の例。 ・自然数の順序対全体の集合 N × N 上の、(n1, n2) < (m1, m2) ⇔ n1 < m1 かつ n2 < m2 となる順序。 整礎でない関係の例。 ・負整数全体 {?1, ?2, ?3, …} の通常の順序。任意の非有界部分集合が最小元を持たない。 ・有理数全体（または実数全体）の標準的な順序（大小関係）。たとえば、正の有理数（または正の実数）全体は最小元を持たない。 (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/636

639: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/07(土) 15:45:48.09 ID:H2e5WMAT >>636 補足 ”「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」 というのが正則性公理ですから” は間違い ”真の無限降下列をもたない”ってことね ”ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。”は、説明不足だが、∈による二項関係で、真の”真の無限降下列をもたない”というのが、正則性の公理 詳しくは、下記の渕野 昌先生を見て下さい（＾＾； https://fuchino（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ） 基礎の公理の成り立たない集合論 (non well-founded set theory) について 渕野 昌(Sakae Fuchino) Last modified: Sat Aug 13 (抜粋) なぜだかは分らない が，∈-無限下降列に対して病的な興味を示す素人数学者が後をたたないからで ある． 私の知っている例でも，体系の言語で記述される（内的な）無限降下列 とモデルでの無限降下列の区別さえ定かでないような，∈ の整列性を仮定し ない集合論に関するあやしげな博士論文が，集合論以外の専門の数学者による 審査で通ってしまった，という，ある旧帝国大学*2での最近の事例がある． こ のような不愉快な傾向に拍車をかけるようなまねはくれぐれもやめてほしい， と強く希望する次第である． 基礎の公理 (Axiom of Foundation) は， (1) すべての集合 x に対し，x の要素で， ∈ （の transitive closure として得られる（前）順序）に関して極小なものが存在する ことを主張するものです．この公理により，∈-列のループ（特に長さが 1 のループ x ∈ x）や， ∈ に関する無限下降列 x1 ∋ x2 ∋ x3 ∋ ・・・ が存在しないことなどが帰結されます． http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/639

640: １３２人目の素数さん [] 2019/12/07(土) 15:46:01.53 ID:uZFmzNJe >>636 ＞数学において、二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、 ＞真の無限降下列をもたないことである。 「真の」は要りません。「無限降下列をもたないこと」で構いません。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/640

684: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/07(土) 22:23:09.52 ID:H2e5WMAT >>680 補足 (引用開始) で、無限公理を認めることで、無限集合の存在が導かれる それが、一行目の 「集合 ｛0、{0}、{{0}}、・・・、{・・{0}・・}n重、・・・｝が無限集合なら」 ってことだよ （ くどいが、無限公理を認め 無限公理が適用されることで、 ”列 0、{0}、{{0}}、・・・、{・・{0}・・}n重、・・・ は、有限で終わらない”が導かれる 　つまり、これは無限公理からの直接の帰結ってことですよ！！（超限帰納法は関係ないよ >>613） ） (引用終り) おサルの>>636 ＞「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」 ＞というのが正則性公理ですから これ、 理解が間違っているよ ツェルメロの後者関数 an=suc(an-1)={an-1} つまり、an-1∈an ノイマンの後者関数 an=suc(an-1)={Σan-1} (ここに”Σan-1”は、0からn-1までの全ての集合和を表わす) つまり、an-1∈an ツェルメロの構成にしろ、ノイマンの構成にしろ 上記の通り 無限公理から、無限集合ができて、 ∈列の無限長列を構成する それは、正則性公理には反しない 正則性公理は、真の無限降下列（>>636）を禁止にするが 上記のツェルメロの構成にしろ、ノイマンの構成にしろ、これらは禁止されていないぞ だから、おサルは、正則性公理を誤解している その誤解から、シングルトンの無限列の存在を否定し、また、可算多重シングルトンの存在を否定している それは、おサルの数学であって、人の数学ではない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/684

739: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/14(土) 15:14:38.44 ID:s6Tab8iq （＾＾； 「∈列 有限長」ｗｗ おサル＝ID:uZFmzNJe は、恥かき ”「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」 というのが正則性公理ですから”ｗｗ (>>636より) Inter-universal geometry と ABC予想 42 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572150086/ 701 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/12/07(土) ID:uZFmzNJe [3/3] >>697 ＞正則性公理には反してませんよ、ZFCに反してませんよと強調したかった しかし∈-loopsは、正則性公理とは矛盾しますけどね 「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」 というのが正則性公理ですから （それゆえ「基礎の公理」とも呼ばれる） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82 整礎関係 (抜粋) 数学において、二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。 定義 集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。 X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。 集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、∈ が x の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。 関係 R が X 上で逆整礎 (converse well-founded) または上方整礎 (upwards well-founded) であるとは、R の逆関係 R?1 が X 上の整礎関係であるときにいう。このとき R は昇鎖条件を満たすという。 例 全順序でない整礎関係の例。 ・自然数の順序対全体の集合 N × N 上の、(n1, n2) < (m1, m2) ⇔ n1 < m1 かつ n2 < m2 となる順序。 整礎でない関係の例。 ・負整数全体 {-1, -2, -3, …} の通常の順序。任意の非有界部分集合が最小元を持たない。 ・有理数全体（または実数全体）の標準的な順序（大小関係）。たとえば、正の有理数（または正の実数）全体は最小元を持たない。 (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/739

805: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/16(月) 07:15:14.20 ID:IdN2Nyfe (>>747より) http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/zengaku/18/terui-zengaku2018.pdf 第７回 日時： ２０１８年６月１日（金） １６：３０−１８：００ 場所： 数理解析研究所　４２０号室 講師： 照井 一成　准教授 題目： NASH村の命名規則：整列擬順序の理論へ (抜粋) 定義 2.2 （ X, =< ）を全順序とする。Xに無限降下列 a0 > a1 > a2 > ・・・ (ai ∈ X) が存在しないとき、（ X, =< ）を整列順序という。 別の言い方をすれば、整列順序とは空でないどんな部分集合 Y ⊆ X も最小元を持つよう な全順序のことである。どんな集合上にも整列順序をいれられるというのが Zermelo の整列定理である。 これは選択公理と同値である。 (引用終り) あほサルが、（>>636） ”∈-loopsは、正則性公理とは矛盾しますけどね 「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」 というのが正則性公理ですから （それゆえ「基礎の公理」とも呼ばれる）” と、あほ発言 笑えるわ（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/805

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