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現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 カントル 超限集合論 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/
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415: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/14(月) 10:07:37.61 ID:w6tqRMw5 >>413 ・任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ωが定義されたとする（これは同型を除いて一意） ・ωは、順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 ・集積点であるとは、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である ・よって、下記の「0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω)」上昇列から、 S(ω)→ｎ（ｎは有限）の ”無限降下列”を考えると 集積点ω（＝極限順序数）を通過するので、「S の点を無限に含む」、即ち、無限の自然数の元を含む ・しかし、構成法からも分かるように、この”無限降下列”は最小元をもち、正則性公理（＝最小元を持たない）には反しない QED (参考>>322もご参照) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 極限順序数 (抜粋) 集合論および順序論（英語版）における極限順序数は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。 任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、極限順序数である。 ・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9 集積点/極限点 (抜粋) 定義 位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である https://ja.wikipedia.org/wiki/T1%E7%A9%BA%E9%96%93 T1空間 (抜粋) X が T1-空間であるとは、X の任意の相異なる二点が分離できるときに言う https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 順序数 (抜粋) 順序数の並び方を次のように図示することができる： 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), ・・ まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/415
417: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/14(月) 10:28:37.32 ID:w6tqRMw5 >>415 補足 この話は、すでに>>42,>>52にモデルを書いておいたが 1)閉区間[0,1]内の数列 0(=1-1/1),1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・,(n→∞)1(=1-1/∞)=ω ができる 2)同様に 閉区間[1,2]内の数列 1(=2-1/1),2-1/2,2-1/3,・・,2-1/n,・・,(n→∞)2=(2-1/∞)=ω ができる 3)上記1)2)を直結すると 閉区間[0,2]内の数列 0(=1-1/1),1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・,(n→∞)1(=1-1/∞)=ω=(=2-1/1),2-1/2,2-1/3,・・,2-1/n,・・,(n→∞)2=(2-1/∞)=ω + ω ができる 4)要するに、例えば 奇数列 1,3,5,・・・ 偶数列 2,4,6,・・・ この2つを直結すると 1,3,5,・・・、2,4,6,・・・になる これが、3)の閉区間[0,2]内の数列と全単射になり、ω + ωの数列になる 5)で、「1,3,5,・・・、2」から、2→1の”無限降下列”がとれるが、最小元を持つので、正則性公理（＝最小元を持たない）には反しない QED http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/417
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