[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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508(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/28(木)00:22 ID:QdpmOFrx(1/7)調 AAS
>>504 追加
https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_set
Finite set
(抜粋)
Necessary and sufficient conditions for finiteness
In Zermelo?Fraenkel set theory without the axiom of choice (ZF), the following conditions are all equivalent:[citation needed]
2.(Kazimierz Kuratowski) S has all properties which can be proved by mathematical induction beginning with the empty set and adding one new element at a time. (See below for the set-theoretical formulation of Kuratowski finiteness.)
Set-theoretic definitions of finiteness
Various properties that single out the finite sets among all sets in the theory ZFC turn out logically inequivalent in weaker systems such as ZF or intuitionistic set theories.
Two definitions feature prominently in the literature, one due to Richard Dedekind, the other to Kazimierz Kuratowski. (Kuratowski's is the definition used above.)
つづく
509(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/28(木)00:24 ID:QdpmOFrx(2/7)調 AAS
>>508
つづき
Kuratowski finiteness is defined as follows. Given any set S, the binary operation of union endows the powerset P(S) with the structure of a semilattice.
Writing K(S) for the sub-semilattice generated by the empty set and the singletons, call set S Kuratowski finite if S itself belongs to K(S).[8] Intuitively,
K(S) consists of the finite subsets of S. Crucially, one does not need induction, recursion or a definition of natural numbers to define generated by since one may obtain K(S) simply by taking the intersection of all sub-semilattices containing the empty set and the singletons.
Readers unfamiliar with semilattices and other notions of abstract algebra may prefer an entirely elementary formulation.
Kuratowski finite means S lies in the set K(S), constructed as follows. Write M for the set of all subsets X of P(S) such that:
X contains the empty set;
For every set T in P(S), if X contains T then X also contains the union of T with any singleton.
Then K(S) may be defined as the intersection of M.
In ZF, Kuratowski finite implies Dedekind finite, but not vice versa.
In the parlance of a popular pedagogical formulation, when the axiom of choice fails badly, one may have an infinite family of socks with no way to choose one sock from more than finitely many of the pairs.
That would make the set of such socks Dedekind finite: there can be no infinite sequence of socks, because such a sequence would allow a choice of one sock for infinitely many pairs by choosing the first sock in the sequence.
However, Kuratowski finiteness would fail for the same set of socks.
510(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/28(木)00:30 ID:QdpmOFrx(3/7)調 AAS
>>508-509
＞ 2.(Kazimierz Kuratowski) S has all properties which can be proved by mathematical induction beginning with the empty set and adding one new element at a time. (See below for the set-theoretical formulation of Kuratowski finiteness.)
＞Kuratowski finite means S lies in the set K(S), constructed as follows. Write M for the set of all subsets X of P(S) such that:
＞X contains the empty set;
＞For every set T in P(S), if X contains T then X also contains the union of T with any singleton.
＞Then K(S) may be defined as the intersection of M.
なるほど
”Kuratowski finiteness”の定義では、
CやRやQやNのシングルトン
{C}や{R}や{Q}や{N} 達は
有限集合にはならんな！
思った通りだったな！ｗｗ（＾＾；
511(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/28(木)00:37 ID:QdpmOFrx(4/7)調 AAS
>>509
>Writing K(S) for the sub-semilattice generated by the empty set and the singletons, call set S Kuratowski finite if S itself belongs to K(S).[8] Intuitively,
>K(S) consists of the finite subsets of S. Crucially, one does not need induction, recursion or a definition of natural numbers to define generated by since one may obtain K(S) simply by taking the intersection of all sub-semilattices containing the empty set and the singletons.
もし、singleton が、ZFCの中で正則性公理により有限に留まらざるを得ないならば、話は単純だが
しかし、そうではないからこそ、Kuratowski先生も苦労して、”Kuratowski finiteness”を定義している
かつ、それでこそ、Kuratowskiの論文の値打ちもあろうというものよｗｗ（＾＾；
519(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/28(木)21:01 ID:QdpmOFrx(5/7)調 AAS
>>501-502 補足
(引用開始)
天才Zermeloが、シングルトンによる自然数の構成を与えた（1908年）
（”The natural numbers are represented by Zermelo as by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these.”）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
(引用終り)
さて
・上記のように、シングルトンは、有限には限らない
（これは自明だが以下説明する）
・数学では、可算無限を考えることは、頻繁にある
・例えば、下記の時枝記事は”可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる”という記載から始まる
・あるいは、下記の形式的冪級数の各項の係数が、”箱が可算無限個ある”ことに相当するだろう
・また、下記のヒルベルトの無限ホテルのパラドックスでは、”客室が無限にあるホテルを考える”となる
・さて、可算無限個ある箱に、縦棒”|”を入れるとする。”|||・・・”となる
これを、利用して、・・・|||Φ|||・・・、
つまりΦを真ん中にして、左右に”|||・・・”を配置する
・ここで、縦棒”|”を左カッコ{ や、右カッコ ｝に取り替える。即ち
左の・・・|||→・・・{{{ に
右の|||・・・→{{{・・・ に 取り替えると
・・・{{{Φ}}}・・・となる
ここで、Φを取り除けば、・・・{{{ }}}・・・
ここでΦ＝{ }を替えれば、・・・{{{{ }}}}・・・となる
・ヒルベルトの無限ホテルや形式的冪級数の存在が、否定できない（当然できないよね）
とすれば、”|||・・・”の存在も否定できない
・従って、・・・{{{ }}}・・・（可算無限多重シングルトン）の存在も否定できない
QED
つづく
520: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/28(木)21:02 ID:QdpmOFrx(6/7)調 AAS
>>519
つづき
（参考）
ガロア過去スレ20 再録 2chｽﾚ:math
１．時枝問題（数学セミナー201511月号＊）の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
＊）訂正：原文201611月号→201511月号
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/6987.html
数学セミナー 2015年11月号
箱入り無数目───────────────時枝 正 36
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
(抜粋)
多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
(抜粋)
パラドックスの内容
客室が無限にあるホテルを考える。
(引用終り)
以上
521(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/28(木)21:05 ID:QdpmOFrx(7/7)調 AAS
>>519 タイポ訂正
右の|||・・・→{{{・・・ に 取り替えると
↓
右の|||・・・→}}}・・・ に 取り替えると
分かると思うが（＾＾；
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