現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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617(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/07(土)08:42 ID:H2e5WMAT(1/14)調 AAS
>>614
無理するな（＾＾

（>>612より）
https://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0065
（このサイトからPDFが落とせる）
Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre. I. Von E. ZERMELO in Gottingen. P261
(抜粋英訳)
P263
Axiom I. If every element of a set M is simultaneously an element of N and vice versa, that is, if M = E N and N = E M at the same time, then M = N is always M or shorter: every set is determined by its elements.

P266
But in order to secure the existence of "infinite" sets, we still need the following axiom, which derives from its essential content by Mr. R. Dedekind.
Axiom VII. The domain contains at least a set Z which contains the null set as an element and is such that each of its elements a is another element of the form {a}, or which with each of its elements a is also the corresponding set {a } as an element.
(Axiom of the infinite.)
14 VII. *) If Z is an arbitrary set of the properties required in VII, then for each of its subsets Z1 it is definite whether it possesses the same property. For if a is any element of Z1 ', it is definite whether {a} ∈ Z1,
and all the elements a of Z1 thus constituted form the elements of a subset Z1' for which it is definite whether Z1 '= Z1 or Not. Thus, all subsets Z1 of the considered property form the elements of a subset T = E UZ,
and the average corresponding to them (# 9) Z0 = DT is an amount of the same nature.
つづく

618(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/07(土)08:43 ID:H2e5WMAT(2/14)調 AAS
>>617
つづき

For once 0 is a common element of all elements Z1 of T, and on the other hand, if a is a common element of all these Z1, then also {a} is common to all and therefore also an element of Z0.
If Z 'is any other quantity of the nature required in the axiom, then in the same way as Z0 it corresponds to Z for a smallest subset Z0' of the property under consideration.
Now, however, the average [Z0, Z0 '], which is a common subset of Z and Z', must have the same properties as Z and Z and, as a subset of Z, the constituent Z0 and, as a subset of Z ', the constituent Z0 ' contain.
After I it follows that [Z0, Z0 '] = Z0 = Z0', and that Z0 is therefore the common component of all possible quantities, such as Z, although these do not need to form the elements of a set.
The set Z0 contains the elements 0, {0}, {{0}}, and so on, and may be called a "series of numbers" because their elements can represent the location of the numerals.
It is the simplest example of a "countless infinite" set (Nos. 36).

注：36節(Nos. 36 P280)で、ZERMELOは無限（"unendliche"）について論じている。

つづく

619(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/07(土)08:44 ID:H2e5WMAT(3/14)調 AAS
>>618
つづき

(ドイツ語原文)
P263
Axiom I. Ist jedes Element einer Menge M gleichzeitig Element von N und umgekehrt, ist also gleichzeitig M =E N und N =E M, so ist immer M = N. Oder kurzer: jede Menge ist durch ihre Elemente bestimmt.

P266
Um aber die Existenz "unendlicher" Mengen zu sichern, bedurfen wir noch des folgenden, seinem wesentlichen Inhalte von Herrn R. Dedekind**) herruhrenden Axiomes.
Axiom VII. Der Bereich enthalt mindestens eine Menge Z, welche die Nullmenge als Element enthalt und so beschaffen ist, das jedem ihrer Elemente a ein weiteres Element der Form {a} entspricht, oder welche mit jedem ihrer Elemente a auch die entsprechende Menge {a} als Element enthalt.
(Axiom des Unendlichen.)
14 VII. *) Ist Z eine beliebige Menge von der in VII geforderten Beschaffenheit, so ist fur jede ihrer Untermengen Z1 definit, ob sie die gleiche Eigenschaft besitzt. Denn ist a irgend ein Element von Z1' so ist definit, ob auch {a} ε Z1 ist,
und alle so beschaffenen Elemente a von Z1 bilden die Elemente einer Untermenge Z1', fur welche definit ist, ob Z1' = Z1 ist oder nicht. Somit bilden alle Untermengen Z1 von der betrachteten Eigenschaft die Elemente einer Untermenge T =E UZ,
und der ihnen entsprechende Durchschnitt (Nr. 9) Z0 = DT ist eine Menge von der gleichen Beschaffenheit.

つづく

620: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/07(土)08:45 ID:H2e5WMAT(4/14)調 AAS
>>619
つづき

Denn einmal ist 0 gemeinsames Element aller Elemente Z1 von T, und andererseits, wenn a gemeinsames Element aller dieser Z1 ist, so ist auch {a} allen gemeinsam und somit gleichfalls Element von Z0.
Ist nun Z' irgend eine andere Menge von der im Axiom gefordertenN Beschaffenheit, so entspricht ihr in gen au derselben Weise wie Z0 dem Z eine kleinste Untermenge Z0' von der betrachteten Eigenschaft.
Nun mus aber auch der Durchschnitt [Z0, Z0'] , welcher eine gemeinsame Untermenge von Z und Z' ist, die gleiche Beschaffenheit wie Z und Z haben und als Untermenge von Z den Bestandteil Z0, sowie als Untermenge von Z' den Bestandteil Z0' enthalten.
Nach I folgt also, das [Z0, Z0'] = Z0 = Z0' sein mus, und das somit Z0 der gemeinsame Bestandteil aller moglichen wie Z beschaff (men Mengen ist, obwohl diese nicht die Elemente einer Menge zu bilden brauchen.
Die Menge Z0 enthalt die Elemente 0, {0}, { {0} } usw. und moge als "Zahlenreihe" bezeichnet werden, weil ihre Elemente die Stelle der Zahlzeichen vertreten konnen.
Sie bildet das einfachste Beispiel einer "abzahl bar unendlichen" Menge (N r. 36).
(引用終り)
以上

621(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/07(土)08:49 ID:H2e5WMAT(5/14)調 AAS
>>618 補足

(引用開始)
The set Z0 contains the elements 0, {0}, {{0}}, and so on, and may be called a "series of numbers" because their elements can represent the location of the numerals.
It is the simplest example of a "countless infinite" set (Nos. 36).
注：36節(Nos. 36 P280)で、ZERMELOは無限（"unendliche"）について論じている。
(引用終り)

ってことね
QED ｗｗ（＾＾

なお、英訳は、PDFをアクロバットのドイツ語OCRに掛けて、ドイツ語OCRから、Google翻訳で独→英に訳した。
OCRの誤読は極力手直ししたが、誤訳を含めて、疑問のある方は、原文PDFに当たって下さい（＾＾；

じゃあな（＾＾；

626(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/07(土)14:50 ID:H2e5WMAT(6/14)調 AAS
>>625
無理するな

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイム?スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム?スコーレムの定理（英: Lowenheim?Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。

定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。

レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。
例えば、真の算術 (true arithmetic) には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ。さらに悩ましかったのは、集合論の可算なモデルの存在である。
それにもかかわらず、集合論は実数が非可算であるという文を満たさなければならない。この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ、可算性 (countability) は絶対的 (absolute) ではないことを示している。

つづく

627(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/07(土)14:51 ID:H2e5WMAT(7/14)調 AAS
>>626

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6wenheim%E2%80%93Skolem_theorem
Lowenheim?Skolem theorem
(抜粋)
The proof of the upward part of the theorem also shows that a theory with arbitrarily large finite models must have an infinite model; sometimes this is considered to be part of the theorem.

Many consequences of the Lowenheim?Skolem theorem seemed counterintuitive to logicians in the early 20th century, as the distinction between first-order and non-first-order properties was not yet understood.
One such consequence is the existence of uncountable models of true arithmetic, which satisfy every first-order induction axiom but have non-inductive subsets.

Another consequence that was considered particularly troubling is the existence of a countable model of set theory, which nevertheless must satisfy the sentence saying the real numbers are uncountable.
This counterintuitive situation came to be known as Skolem's paradox; it shows that the notion of countability is not absolute.

628(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/07(土)14:54 ID:H2e5WMAT(8/14)調 AAS
>>626-627

(引用開始)
レーヴェンハイム−スコーレムの定理
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。
The proof of the upward part of the theorem also shows that a theory with arbitrarily large finite models must have an infinite model; sometimes this is considered to be part of the theorem.
(引用終り)

後者関数の繰り返し適用で、無限集合ができる
それは、ノイマンの後者関数であれ、ZERMELOの後者関数（＝多重シングルトン）であれ、同じことだよ

無理するな

629(3): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/07(土)15:01 ID:H2e5WMAT(9/14)調 AAS
>>622

「集合Z0には要素0、{0}、{{0}}などが含まれ、
　それらの要素が数字の位置を表すことができるため、
　「一連の数字」と呼ばれる場合があります。
　これは、「無数の無限」集合の最も単純な例です」
　↓
（>>621より英文）
The set Z0 contains the elements 0, {0}, {{0}}, and so on, and may be called a "series of numbers" because their elements can represent the location of the numerals.
It is the simplest example of a "countless infinite" set (Nos. 36).
(引用終り)

これの意味は
0、{0}、{{0}}、・・・、{・・{0}・・}n重、・・・
　　↓↑
0、　1、　2、・・・、　n、　・・・
これで無限集合ができるってこと
つまり、シングルトンの無限列だよｗ（＾＾

636(5): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/07(土)15:37 ID:H2e5WMAT(10/14)調 AAS
>>622
おサル＝ID:uZFmzNJe は、恥かきだなｗ（＾＾；
正則性公理のそこでつまずいているのかｗ

（参考）
Inter-universal geometry と ABC予想 42
2chｽﾚ:math
701 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/12/07(土) 09:59:15.64 ID:uZFmzNJe [3/3]
>>697
＞正則性公理には反してませんよ、ZFCに反してませんよと強調したかった
しかし∈-loopsは、正則性公理とは矛盾しますけどね
「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」
というのが正則性公理ですから
（それゆえ「基礎の公理」とも呼ばれる）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
(抜粋)
数学において、二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。

定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。

X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。

集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、∈ が x の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。

関係 R が X 上で逆整礎 (converse well-founded) または上方整礎 (upwards well-founded) であるとは、R の逆関係 R?1 が X 上の整礎関係であるときにいう。このとき R は昇鎖条件を満たすという。

例
全順序でない整礎関係の例。
・自然数の順序対全体の集合 N × N 上の、(n1, n2) < (m1, m2) ⇔ n1 < m1 かつ n2 < m2 となる順序。

整礎でない関係の例。
・負整数全体 {?1, ?2, ?3, …} の通常の順序。任意の非有界部分集合が最小元を持たない。
・有理数全体（または実数全体）の標準的な順序（大小関係）。たとえば、正の有理数（または正の実数）全体は最小元を持たない。
(引用終り)

639(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/07(土)15:45 ID:H2e5WMAT(11/14)調 AAS
>>636 補足

”「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」
というのが正則性公理ですから”
は間違い

”真の無限降下列をもたない”ってことね
”ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。”は、説明不足だが、∈による二項関係で、真の”真の無限降下列をもたない”というのが、正則性の公理
詳しくは、下記の渕野昌先生を見て下さい（＾＾；

https://fuchino（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾）
基礎の公理の成り立たない集合論 (non well-founded set theory) について渕野昌(Sakae Fuchino) Last modified: Sat Aug 13
(抜粋)
なぜだかは分らないが，∈-無限下降列に対して病的な興味を示す素人数学者が後をたたないからである．
私の知っている例でも，体系の言語で記述される（内的な）無限降下列とモデルでの無限降下列の区別さえ定かでないような，∈ の整列性を仮定しない集合論に関するあやしげな博士論文が，集合論以外の専門の数学者による審査で通ってしまった，という，ある旧帝国大学*2での最近の事例がある．
このような不愉快な傾向に拍車をかけるようなまねはくれぐれもやめてほしい，と強く希望する次第である．

基礎の公理 (Axiom of Foundation) は，

(1)
すべての集合 x に対し，x の要素で， ∈ （の transitive closure として得られる（前）順序）に関して極小なものが存在する
ことを主張するものです．この公理により，∈-列のループ（特に長さが 1 のループ x ∈ x）や， ∈ に関する無限下降列 x1 ∋ x2 ∋ x3 ∋ ・・・が存在しないことなどが帰結されます．

641(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/07(土)15:49 ID:H2e5WMAT(12/14)調 AAS
>>629 補足

0、{0}、{{0}}、・・・、{・・{0}・・}n重、・・・
この列が、もし有限で終われば、
集合｛0、{0}、{{0}}、・・・、{・・{0}・・}n重、・・・｝
は、無限集合ではない

この対偶で
集合｛0、{0}、{{0}}、・・・、{・・{0}・・}n重、・・・｝が無限集合なら
列 0、{0}、{{0}}、・・・、{・・{0}・・}n重、・・・は、有限で終わらない
QED ｗ（＾＾；

680(3): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/07(土)20:37 ID:H2e5WMAT(13/14)調 AAS
>>643
そんなレベルで、哀れな素人さんと、「無限 vs 有限」論争やっているのか？
やれやれだな

>＞集合｛0、{0}、{{0}}、・・・、{・・{0}・・}n重、・・・｝が無限集合なら
>＞列 0、{0}、{{0}}、・・・、{・・{0}・・}n重、・・・は、有限で終わらない
>一行目の
>「集合｛0、{0}、{{0}}、・・・、{・・{0}・・}n重、・・・｝が無限集合なら」
>の前提は必要ありません
>列 0、{0}、{{0}}、・・・、{・・{0}・・}n重、・・・は、有限で終わらない
>それが真実です

「それが真実です」って、それは”無限公理を認めれば”ってことだよ
ツェルメロは、無限公理が必要だと言った

で、無限公理を認めることで、無限集合の存在が導かれる
それが、一行目の
「集合｛0、{0}、{{0}}、・・・、{・・{0}・・}n重、・・・｝が無限集合なら」
ってことだよ
（くどいが、無限公理を認め無限公理が適用されることで、
”列 0、{0}、{{0}}、・・・、{・・{0}・・}n重、・・・は、有限で終わらない”が導かれる
　つまり、これは無限公理からの直接の帰結ってことですよ！！（超限帰納法は関係ないよ >>613））

無限公理の意義さえ分からずに、（かつ一階述語論理と高階述語論理との違いも意識せずに）
哀れな素人さんと、
「無限 vs 有限」論争やっているのかい？
やれやれだな

684(5): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/07(土)22:23 ID:H2e5WMAT(14/14)調 AAS
>>680 補足

(引用開始)
で、無限公理を認めることで、無限集合の存在が導かれる
それが、一行目の
「集合｛0、{0}、{{0}}、・・・、{・・{0}・・}n重、・・・｝が無限集合なら」
ってことだよ
（くどいが、無限公理を認め無限公理が適用されることで、
”列 0、{0}、{{0}}、・・・、{・・{0}・・}n重、・・・は、有限で終わらない”が導かれる
　つまり、これは無限公理からの直接の帰結ってことですよ！！（超限帰納法は関係ないよ >>613））
(引用終り)

おサルの>>636
＞「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」
＞というのが正則性公理ですから

これ、
理解が間違っているよ

ツェルメロの後者関数
an=suc(an-1)={an-1}
つまり、an-1∈an

ノイマンの後者関数
an=suc(an-1)={Σan-1} (ここに”Σan-1”は、0からn-1までの全ての集合和を表わす)
つまり、an-1∈an

ツェルメロの構成にしろ、ノイマンの構成にしろ
上記の通り
無限公理から、無限集合ができて、
∈列の無限長列を構成する
それは、正則性公理には反しない

正則性公理は、真の無限降下列（>>636）を禁止にするが
上記のツェルメロの構成にしろ、ノイマンの構成にしろ、これらは禁止されていないぞ

だから、おサルは、正則性公理を誤解している
その誤解から、シングルトンの無限列の存在を否定し、また、可算多重シングルトンの存在を否定している
それは、おサルの数学であって、人の数学ではない

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