[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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961(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/21(土)00:23 ID:AVt64yFu(1/9)調 AAS
>>945 補足
（>>783）
<ノイマン構成>
0,1,2,・・,n-1,n,・・,ω,ω+1,ω+2,・・
後者関数を、suc (a):=a∪{a}とする
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
例えば、ω+1:=ω∪{ω}
<Zermelo構成>では、後者関数を、suc (a):={a}とする
ω+1:={ω}
で、確かに<ノイマン構成>綺麗ですよね。ω＝Nとなって、順序と濃度が対応している
それは、<Zermelo構成>では、実現できていない。
けれども、<Zermelo構成>によるωの構成はだれも否定していない
<ノイマン構成>からぱくって、ω＝Nも出来なくは無い
ω＝N、ω+1:={N}、ω+2:={{N}}、・・ としてもいい
だが、ωの後者以降は、シングルトン。ωより以前も、シングルトン。
だったら、<Zermelo構成>でのωも、シングルトンと考えるのが、自然であり理論的にも綺麗
<Zermelo構成>でのωが、シングルトンであることを否定する理屈なし
（おサルの「正則性公理に反する」とか、アホ発言はあったけどね（＾＾； ）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
(抜粋)
<ノイマン構成>
・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc (a):=a∪{a}
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
<Zermelo構成>（>>725より）
他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
つづく
962: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/21(土)00:24 ID:AVt64yFu(2/9)調 AAS
>>961
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
順序数（じゅんじょすう、英: ordinal number）とは、整列集合同士の"長さ"を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である。
S(α) を α の後続者（successor of α）と呼ぶ
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。
だがそれで終わりではない。無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである。
(引用終り)
以上
963: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/21(土)00:25 ID:AVt64yFu(3/9)調 AAS
>>960
カラオケ絶唱ありがとう〜！（＾＾；
964: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/21(土)00:31 ID:AVt64yFu(4/9)調 AAS
>>930-931
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう（＾＾；
966(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/21(土)08:07 ID:AVt64yFu(5/9)調 AAS
>>961 補足
(引用開始)
けれども、<Zermelo構成>によるωの構成はだれも否定していない
<ノイマン構成>からぱくって、ω＝Nも出来なくは無い
ω＝N、ω+1:={N}、ω+2:={{N}}、・・ としてもいい
だが、ωの後者以降は、シングルトン。ωより以前も、シングルトン。
だったら、<Zermelo構成>でのωも、シングルトンと考えるのが、自然であり理論的にも綺麗
<Zermelo構成>でのωが、シングルトンであることを否定する理屈なし
(引用終り)
・確かに、ωは、それ以前の何者の後者でもない
・しかしながら、後者関数として定義された性質
それは、
<ノイマン構成>では、それ以前の全てを要素からなる集合
<Zermelo構成>では、シングルトン
という性質を持つ集合と考えるのが、理論として一番整合している
・この根拠として、1つの考え方として、
極限として理解することもできる
有限の集合の列の極限としてね
・それは、もちろん、公理的な自然数の構成の筋からは外れるとしても
（極限が定義されるのは、公理的構成のずっと後だろうから。自然数などが構成された後の話として極限が出てくるのだろうけれど）
・ただ、後者関数は必ずしも、<ノイマン構成>の後者関数に限定されないという意味では、上記のように解釈するのが自然と思うよ
968: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/21(土)08:11 ID:AVt64yFu(6/9)調 AAS
>>966 補足の補足
順序数の<ノイマン構成>と<Zermelo構成>
この2つ以外もあるだろうが
後者関数が違っても
順序同型になって
同型の意味で、
一意でしょ
987(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/21(土)10:15 ID:AVt64yFu(7/9)調 AAS
>>969
＞この時点でZermelo構成でのΩがシングルトンだと主張する根拠は無くなった
話は、全く逆
Ωがシングルトンであっては行けないと主張する根拠は無いんじゃね？
だったら、選択肢は2つAとB
A．Ω＝N
B．Ω＝シングルトンの可算無限版で最小のもの
この後は、Zermelo構成の後者関数を適用して
ω、ω+1:={ω}、ω+2:={{ω}}、・・ と続いていく
この話は、Zermelo構成以外の後者関数でも同じだ
ある適当な後者関数 suc(a) が定義できて
それが、超限順序数に対しても適用できるならば
つまり
ω、ω+1:=suc{ω}、ω+2:=suc{ω+1}・・ と続けられるならば
ωについても、後者関数の性質を継承したものとして
例えば、極限を使うとかで
ω：＝lim ｎ→∞ suc{n}
と定義すれば良い
これは、公理的な順序数の構成から、外れているかも知れないが
いろんな後者関数による順序数の構成例としては、ありでしょ
（数学的に、正則性公理などに反するとか、矛盾を生じるとか無ければ）
（先にも書いたが、極限を使ってωを定義すると循環論法になりかねないが、極限が定義された後でならありだろう）
988(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/21(土)10:19 ID:AVt64yFu(8/9)調 AAS
>>981-982
次スレあるので
続けて、楽しく踊って下さい
その方がIUTスレの方々にとっては
平穏でしょう（＾＾
現代数学の系譜 カントル 超限集合論2
2chｽﾚ:math
989: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/21(土)10:27 ID:AVt64yFu(9/9)調 AAS
>>987 補足
まあ、素朴集合論の感覚では
最小の可算無限集合は、自然数Nに限定されない
いろんな、自然数Nに相当する最小の可算無限集合が構成可能でしょ
だから、ノイマン構成でω＝Nだとしても、それが確かに理論的に綺麗だとしても
別の後者関数で、
類似のことが可能でしょ
（特に、”公理的な順序数の構成”という枠を外してしまえば、極限とかいろいろ使えて自由度が上がるし）
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