[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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269(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)06:41 ID:0oc9Ztsl(1/28)調 AAS
>>112 補足
∈の無限降下列と従属選択公理の話（下記）
ゼルプスト殿下 @tenapyonは、藤田博司先生愛媛大
https://togetter.com/search?q=%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86&t=q
「従属選択公理」の検索結果 Togetter
https://togetter.com/li/760984
2014年12月23日 Togetter
【基礎の公理】∈の無限降下列を作るには従属選択公理ではなく可算選択公理があればよいか?
(抜粋)
はかり @mg_toHKR
正則公理と無限降下列の非存在が同値であることを示すのに使ったのは従属選択公理だけど、無限降下列作るなら別に可算無限でいいわけだし可算選択公理でも良いのでは
MarriageTheorem @MarriageTheorem
twitter.com/mg_toHKR/statu… これ、何となく違いそうな気がするけど実際どうなのでしたっけ
ゼルプスト殿下 @tenapyon
@MarriageTheorem 「可算回の選択だから可算選択公理で十分では？」という考えの問題点を指摘するのは簡単ですが、反例があるかというと、それは基礎の公理が破れているのに∈-無限下降列が存在せずそのうえ可算選択公理が成立するモデルなので、容易には用意できませんね
ゼルプスト殿下 @tenapyon
フレンケル・モストフスキ・モデルの方法で基礎の公理の二つのバージョンが同値でないことは示せる気がするので、あとはそのモデルで可算選択公理とが成立しているかどうかですかね。
USB^800 @usb_usb
アイディア：ZF＋可算選択公理＋¬DCのモデルからスタート。<X,R>を¬DCのウィットネスとする。このXは外延的（xとyのpredessor全体が一致したらｘ＝ｙ）と思ってOK.
USB^800 @usb_usb
permutationモデルでもOKだと思うけど、もっと簡単そうな旧版クーネン4章演習１８を使う。VからVへの写像FをXの要素ｘとそのpredessor全体をスワップ、ほかは動かさないようなものとして、aEb ⇔a ∈F(b)で定義する。
USB^800 @usb_usb
一般論として、＜V,E>はZF^-のモデルになる。後は本物の可算選択公理から<V,E>も可算選択公理をみたし、ついでにEの無限降下列は存在しないことがチェックできる、はず。
USB^800 @usb_usb
あ、あともちろん<V,E>では正則性はなりっていないこともチェックできる。
つづく
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
270(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)06:42 ID:0oc9Ztsl(2/28)調 AAS
>>269
つづき
USB^800 @usb_usb
（もうちょっと発展させれば、修士論文あたりのネタにはできそう…）
ゼルプスト殿下 @tenapyon
@usb_usb @MarriageTheorem あっ、もう詳細が書いてありましたね。俺の考えた筋は少し違ってて、木[0,1]^{<ω}を下向きの半順序だと思ってこれと同型な推移的集合Tが存在する集合論でWF(T)を作りTの節の後続者を入れ換える置換の群で置換モデルを作るの。
USB^800 @usb_usb
@tenapyon @MarriageTheorem ZF＋可算選択公理＋¬DCのモデル作るのに使うといえば使います。このモデルが得られちゃえば、あとはそこから非整礎モデルをつくる普通の方法で。
はかり @mg_toHKR
@tenapyon はじめまして。可算選択公理の話、もうただすごいなぁと思って見ていたのですが可算選択公理は選択公理を可算無限に制限したものではないのですか？
いきなり質問しちゃってすみませんがよろしければ・・・
ゼルプスト殿下 @tenapyon
@mg_toHKR こんにちは 可算選択公理は可算個の集合が先に与えられているときに「こいつらから1個ずつ要素を取ってこい」って言われたらできますよ、っていうことですね。これに対して従属選択公理は、1人を倒してもそれより強い奴が無数にいる少年ジャンプの作品世界みたいな所で（続き
ゼルプスト殿下 @tenapyon
@mg_toHKR 1人目はこいつ、2人目にそれより強いこいつ、3人目にさらにそれより強いこいつ、…、という無限列が取れますよということで、選択は確かに可算回ですが、選択されるものの範囲がそれまでに選択してきたものに依存しながら変わっていくところが違います。
ゼルプスト殿下 @tenapyon
@mg_toHKR この違いが意外に大きいんです。∈無限下降列は、何か集合が決まらないと、その次に取る要素の範囲も決まらないから、従属選択が必要になってくるのです。
って説明でよろしいでしょうか？
つづく
271: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)06:42 ID:0oc9Ztsl(3/28)調 AAS
>>270
つづき
はかり @mg_toHKR
@tenapyon わかりやすい説明ありがとうございます！
可算選択公理は最初から可算無限個の集合がないと使えないんですね・・・
本当にありがとうございます、勉強になりました。
ゼルプスト殿下 @tenapyon
@mg_toHKR どういたしまして(^^)
集合論のこのあたりに詳しい人は日本ではまだまだ層が薄いので、興味を持ってくれる人がいると本当に嬉しいです。
(引用終り)
以上
272(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)07:50 ID:0oc9Ztsl(4/28)調 AAS
>>266
ども、レスありがとう
>どこまで行っても単元集合しか出てこないとしか解釈できない希ガス。
同意です
補足説明します
普通の自然数N+ω：1,2,3,・・n,・・,ω
に対して（ωは極限順序数で>>164ご参照）
(>>210より)
ノイマン構成：1n,2n,3n,・・nn,・・,ωn
後者関数n；suc(a)n := a∪{a}
ツェルメロ構成：1e,2e,3e,・・ne,・・,ωe
後者関数e；suc(a)e := {a}
ここで、ノイマン構成同様に、ツェルメロ前者集合の和を取る
Σen＝{Φ,1e,2e,3e,・・n-1e}((簡便に表現した) なお、集合の濃度はn)
縦に並べると
1,1n,1e,Σe1
2,2n,2e,Σe2
3,3n,3e,Σe3
・
・
n,nn,ne,Σen
・
・
ω,ωn,ωe,Σeω
＜まとめ＞
・ωnは、ノイマンの極限順序数ω相当で、有限の前者関数nたちの和で、自然数N相当（区別のためにNnとでも）
・ωeは、ツェルメロの極限順序数ω相当で、有限の前者関数nの極限の単元集合(singleton)（順序型）
・Σeωが、ツェルメロの自然数N相当で、有限の前者関数eの和の極限の集合（濃度）
・なので、ノイマン構成では、順序型と濃度を一つの後者関数nで表現できている
対して、ツェルメロ構成での後者関数eでは、表現できるのは順序型のみ
濃度の議論には別の集合、例えば前者関数eの集合和Σenみたいなのが必要（これがツェルメロ構成の欠点）
以上
273(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)08:02 ID:0oc9Ztsl(5/28)調 AAS
>>272
補足
縦に並べると
1,1n,1e,Σe1
2,2n,2e,Σe2
・
・
・
ω,ωn,ωe,Σeω
で
自然数N+ω、ノイマン自然数Nn+ωn、ツェルメロ自然数Ne+ωe、ツェルメロの前者の和集合Σen+Σeω
この４者の間に全単射が存在します
この一言を付け加えておきます
（蛇足みたいだが、もし試験答案で時間があるならなら一言書くべき。”分かっているよ”というアピールのために（答案が戻って来ない試験がある。減点されても、文句をいう機会がない場合がある））
274: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)08:07 ID:0oc9Ztsl(6/28)調 AAS
>>272 追加
ここらは、全部下記の”Stanford Encyclopedia of Philosophy”に、類似のことが書かれていると思うよ
（>>224より）
https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory/
Stanford Encyclopedia of Philosophy
Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett
First published Tue Jul 2, 2013
(抜粋)
3. The Major Problems with Zermelo's System
3.1 Separation
3.2 Completeness
3.2.1 Representing Ordinary Mathematics
3.2.2 Ordinality
3.2.3 Cardinality
3.2.4 Ordinals
276(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)09:18 ID:0oc9Ztsl(7/28)調 AAS
>>275
どうも。レスありがとう
>{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
>には最大値が存在してしまうのでは？
別に言い訳するつもりはないけど
>>272で同意したのは、
ツェルメロ構成では、「どこまで行っても単元集合しか出てこない」ということなのです
で、あなたの
{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
に対して
>>266では
F(X)={Y|∃x1∈ x2∈ x3∈‥xn Y=x1, X=xn}
だったでしょ
つまり、順序が逆
例えば
1,2,3,・・・,n
は上昇列だが
-n,・・・,-3,-2,-1
降下列です
公理的集合論から、自然数N（0,1,2,3,・・・,n,・・）が得られた後に
整数Zを構成して、負数 -n,・・・,-3,-2,-1 なる降下列の構成（無限降下列も可）は、ありでしょう
いま、問題にしていることは、公理的集合論で
空集合Φから、後者関数のみを使って、作った集合で∈順序がどうなるか（無限降下列が存在するかどうか）？
それは、後者関数の作り方にもよるけど、選択公理（あるいは可算選択公理）にも関連しているらしい（>>269）（＾＾
（もちろん、正則性公理も重要）
そして、たとえ有限を扱っていても、青天井（いくらでも大きな）なら、
「いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない」
（レーヴェンハイ-スコーレムの定理）みたいなことになる（>>251）
で、まとまらないけど、
要するに、負数 -n,・・・,-3,-2,-1 なる降下列は、今論じている∈順序とは別と思う（おそらく一般的な順序型の議論になる）
これ以上の細かい議論は、>>266 ID:YULRpgNc さんとよろしく
（もしあなたと同一人物ならご容赦）
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイ-スコーレムの定理
(抜粋)
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。
この事実を定理の一部とする場合もある。
277: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)09:26 ID:0oc9Ztsl(8/28)調 AAS
>>276 タイポ訂正
レーヴェンハイ-スコーレムの定理
↓
レーヴェンハイム-スコーレムの定理
（二箇所）
な（＾＾；
280: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)09:37 ID:0oc9Ztsl(9/28)調 AAS
>>272-273 補足
ツェルメロ構成での前者関数eの集合和Σen は、
>>276との関連で言えば
包含関係での⊂順序にはなるが、
帰属関係の∈順序にはならない
それは、公理という視点では、問題でしょうね
（∵ ∈だけで話を済ますのが綺麗。⊂は、定義されていないのだから）
281: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)09:45 ID:0oc9Ztsl(10/28)調 AAS
>>278-279
？
（>>272より）
ツェルメロ構成：
後者関数e；suc(a)e := {a} （aのシングルトン {a} ）
これで a∈ {a}
つまり、前者集合e ∈ 後者集合e
ですよ。逆転はない
283(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)10:06 ID:0oc9Ztsl(11/28)調 AAS
>>269
＜補足参考＞
従属選択公理(axiom of dependent choice)は、ADCか
http://alg-d.com/math/ac/dc.html
従属選択公理について 壱大整域 2013年10月25日
(抜粋)
定義 次の命題を従属選択公理(axiom of dependent choice)という．
非空集合 X 上の二項関係 R⊂X×X が「任意の x∈X に対してある y∈X が存在して xRy」を満たすとき，Xのある点列 { xn }n∈ωが存在して任意の n に対して xnRxn+1 となる．
命題1 選択公理 ⇒ 従属選択公理
命題2 従属選択公理 ⇒ 可算選択公理
定理 選択公理 ⇔ 任意の順序数αに対してDC(α)が成り立つ．
選択公理は、AC
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう）
(抜粋)
なお、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）に一般連続体仮説を加えると選択公理を証明できる[2]。
従って、一般連続体仮説と選択公理は何れもZFとは独立だが、前者の方がより強い主張であると言える。
可算選択公理は、ACCやACω
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理（英: Axiom of countable choice）ACωとも表記される
連続体仮説は、CH
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E4%BB%AE%E8%AA%AC
連続体仮説（れんぞくたいかせつ、Continuum Hypothesis, CH）
決定性公理は、ADか
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
決定性公理 （けっていせいこうり、英: axiom of determinacy）
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_determinacy
Axiom of determinacy
284(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)10:07 ID:0oc9Ztsl(12/28)調 AAS
>>282
どうぞ、>>275の方とお願い致します。
288(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)11:56 ID:0oc9Ztsl(13/28)調 AAS
>>287
申し訳ないが、意味が取れない
１）下記、Zermelo (1908b) ”(b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as its sole member”
２）これは、>>175の通り、ZFCでは、対の公理で「a → {a}」が言える
３）で、Zermelo (1908b)では正則性公理は、無かった（∵1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された）
４）しかし、ZFCの対の公理による「a → {a}」の the singleton set {a}生成 に、正則性公理からの規制（有限回に限られる？）があると、そういう話はないでしょ？
じゃ、ZFCの対の公理による「a → {a}」の the singleton set {a}生成が、これの超限回繰返しが可能なわけですよね
（>>224より）
https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory/
Stanford Encyclopedia of Philosophy
Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett
First published Tue Jul 2, 2013
(抜粋)
1. The Axioms
Given this, the one fundamental relation is that of set membership, ‘ε’ , which allows one to state that an object a belongs to, or is in, a set b, written ‘a ε b’.[4] Zermelo then laid down seven axioms which give a partial description of what is to be found in B. These can be described as follows:
I.Extensionality
This says roughly that sets are determined by the elements they contain.
II.Axiom of Elementary Sets
This asserts
(a) the existence of a set which contains no members (denoted ‘0’ by Zermelo, now commonly denoted by ‘?’);
(b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as its sole member; and
(c) the existence, for any two objects a, b, of the unordered pair {a, b}, which has just a, b as its members.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理（せいそくせいこうり、英: axiom of regularity）は、別名基礎の公理（きそのこうり、英: axiom of foundation） とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。
290: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)13:52 ID:0oc9Ztsl(14/28)調 AAS
>>289
（>>287において）
１）定義が無い。 x11とは？ これは何ですか？
２）Ω=x11、Ω=x21∋x22？ これは何ですか？
「Ω=x11」と「Ω=x21∋x22」とで、二つのΩは別ものですよね、明らかに。これ、記号の濫用ですか？
３）x11∋x22∋x33∋‥‥？ これは何ですか？
例えば、「x11∋x22」の証明は？ 略証でもいいけど
291(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)13:59 ID:0oc9Ztsl(15/28)調 AAS
>>288
> ２）これは、>>175の通り、ZFCでは、対の公理で「a → {a}」が言える
補足
繰返すが、どんな集合であれ、対の公理で「a → {a}」が言えるのです
これは、公理だから、無制限に成立します（有限に限らない）
aが、たとえ無限集合でも、まとめて、the singleton set {a} にできる
回数は、無制限です
１）例えば、aが実数の集合Rで非可算無限集合としても、{R}はシングルトンです
２）そこで分り易く、素朴集合論で、おもりに例えてみよう（分かり易さは人によるけど（＾＾ ）
おもりの列：1g,2g,3g,・・ng・・
これ、全部1元集合の列で、シングルトンの列。集合の濃度は１です
しかし、おもりは重さという指標をもっている
そして、順序列を成す
1g<2g<g3<・・<ng<・・ （可算自然数N内とします）
です
３）そして、重さという指標の順序列で、極限で極限順序数ωが可能
４）それには、>>287みたく二次元の指標 (x,y)を使えば良い（下記 直積集合上の順序「辞書式順序」 ご参照）
(0,1g)<(0,2g)<(0,3g)<・・<(0,ng)<・・<(1,1g)<(1,2g)<(1,3g)<・・<(1,ng)<・・
とすれば良い
この場合、(0,ng)<・・の後の、最初の(1,1g)がωに相当します。順序型という意味の対応でね
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88
順序集合
直積集合上の順序
・辞書式順序: (a,b) <= (c,d) ⇔ a<c ∨ (a=c ∧ b<=d)
つづく
292(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)14:00 ID:0oc9Ztsl(16/28)調 AAS
>>291
つづき
（追加参考）
http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/
Prof. Dr. YUJI YOSHINO
Department of Mathematics
Faculty of Science
Okayama University
http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/oldlectures.html
Teaching (in Japanese) Old Lectures
http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/pdffiles/syuugouron.pdf
２００３年度「代数基礎」講義(２回生用）YUJI YOSHINO 岡山大
集合の記号になれる
(抜粋)
P11
3.2 順序数
? 各整列集合の同型類にひとつずつ「名前」をつける。与えられた整列集合が属する同型類の名前をその整列集合の順序数という。
? 有限整列集合 {1, 2, . . . , n} の順序数を n と書く。（心は nth の意味。）
? 整列集合 N の順序数を通常 ω で表す。
? 辞書式順序の定義。
? S と T が整列集合のとき，辞書式順序で S × T もまた整列集合である。
? 順序集合の合併。
? S と T が整列集合のとき，その合併 S + T もまた整列集合である。
? S と T が整列集合で，それぞれの順序数が α, β のとき，その和 α + β を S + T の順序数，その積
α ・ β を S × T の順序数として定義する。
例題 3.2.1 n ∈ N について，n + ω = ω である。一方， ω + n 6= ω である。理由を考えよ。
例題 3.2.2 n ∈ N について，n ・ ω 6= ω ・ n である。実際，ω ・ 2 = ω + ω, 2 ・ ω = ω である。
定理 3.2.3 (整列集合の比較定理) 二つの整列集合 S と T があるとき，つぎのどれかひとつだけが必ず
成立する。
(1) S と T は順序同型である。
(2) a ∈ S が存在して，S < a > と T は順序同型である。
(3) b ∈ T が存在して，S と T < b > は順序同型である。
? S と T の順序数がそれぞれ α, β であるとする。(1) 〜 (3) の状況のとき，それぞれ α = β, α > β,
α < β と定義する。
系 3.2.4 (順序数の比較可能定理) α, β が順序数のとき，α = β, α > β, α < β のどれかひとつだけが必
ず成立する。
例題 3.2.5 1 < 2 < ・ ・ ・ < ω < ω + 1 < ・ ・ ・ < ω ・ 2 < ω ・ 2 + 1 < ・ ・ ・ < ω ・ 3 < ・ ・ ・ < ω ・ ω < ・ ・
294(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)14:30 ID:0oc9Ztsl(17/28)調 AAS
>>292
> 有限整列集合 {1, 2, . . . , n} の順序数を n と書く。（心は nth の意味。）
そうそう、日本語では、基数詞（簡単には個数を数える）と序数詞（順番）との区別が、助数詞（個・番など）でなされる
前者は１個２個で、後者は１番２番など
数学においては、”nth”は略して書かないので、日本語記法に近い
が、ノイマンとかツェルメロとか、彼らの思考は基数詞（Cardinal）と序数詞(Ordinal)とが峻別されているのです、きっと（＾＾
だから、かれらの文書を読むとき、「Cardinalの話なのか、Ordinalの話なのか」を、日本人はしっかり意識しておかないと
迷走してしまいがちです
そして、いまの議論は、全部シングルトンだからCardinalは1だが
しかし、順序型(Ordinal)としてはωに相当する列のシングルトンの集合が存在しうるよということ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E8%A9%9E
数詞（すうし）とは、数を表す語である。言語及び数詞の種類により、名詞、形容詞、限定詞などの下位の品詞に分類されるが、その性質は独特である。
(抜粋)
基数詞
基数詞（きすうし）とは、基数、すなわち分けて数えられるものの個数を表す数詞である。日本語の「いち」、「に」、「さん」は基数詞である。
序数詞
序数詞（じょすうし）あるいは順序数詞（じゅんじょすうし）とは、順序数、すなわち分けて数えられるものの順番を表す数詞である。
通常は基数詞から規則的に求められるが、小さい整数では不規則変化や補充形が見られる。例えば英語の序数詞は、first , second は補充形、third は不規則、fourth からは規則的（但し、21以降は一の位の数に従う）であり、フランス語では premier は補充形、deuxieme からは規則的である。
日本語では単独で序数詞を表すものはないが、「第-」を漢数詞（助数詞が付く場合は、算用数字で表すこともある）の前に付けるか、「-目」「-位」を助数詞の後に付けて表現される。
・第二、第二回
・二番目、二回目
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A9%E6%95%B0%E8%A9%9E
助数詞
(抜粋)
日本語の助数詞はバラエティに富んでおり、「個」、「匹」（動物）、「本」（細長いもの）、「枚」（平たいもの、厚みのないもの）など高頻度で多くの語に用いられる
295(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)15:04 ID:0oc9Ztsl(18/28)調 AAS
>>293
(引用開始)
仮定は
Ω=x1∋x2∋‥‥∋xm
なる形の列の長さに上限がないですね。
(引用終り)
その記法は、混乱の元と思います
もし、有限長さｍならば
Ω=xm∋xm-1∋‥‥∋x2∋x1
と番号を付け直すべきですよ
そうしないと、大変混乱するでしょうね
正則性公理は、「空でない集合 x には ∈ に関して極小となる元 z ∈ x があること」ですからね
極小となる元を、１番にすべきですね
（参考）
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
坪井明人
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
学群関係
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学ＩＩ 坪井明人 筑波大
1.1.10 基礎の公理（正則性公理）
x ≠ Φ → ∃y(y ∈ x ∧ ¬∃z(z ∈ x ∧ z ∈ y)).
空でない集合 x には ∈ に関して極小となる元 z ∈ x があること，
を直観的には意味している．
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理
(抜粋)
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・任意の空でない集合xに対して、∃y∈x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ は存在しない。
(引用終り)
297: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)15:26 ID:0oc9Ztsl(19/28)調 AAS
>>294
再度まとめておきます
現代数学の無限の議論で、
１．整列可能定理と関連して、デデキント無限とかの関連で（>>236-238）どこまでの強さの選択公理を採用するか（>>283）の問題がある
可算選択公理＜従属選択公理＜選択公理＜連続体仮説
ですね。決定性公理は、別の系統なのでしょうね
２．レーヴェンハイム-スコーレムの定理に関連して（>>251-252）
一階述語論理に限定するのか？ それとも、二階以上の高階述語論理を採用するのか？
ゲーデル先生ご存命の20世紀前半は一階述語論理全盛で、「二階以上はパラドックスのおそれあり」で忌避されていた傾向あり
ところが、いろいろあって、圏論などもその1つと思うが、「二階以上もやろう」という流れができた
３．あと、逆数学なんて流れもあるようです（「現代数学の全部を網羅する公理系ではなく、分野毎に特化した公理系」なのでしょうかね？）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E6%95%B0%E5%AD%A6
逆数学
(抜粋)
逆数学とは、数学の定理の証明に必要な公理を決定しようとする数理論理学のプログラムである。簡単に言えば、通常の数学が公理から定理を導くのとは逆に、「定理から公理を証明する」手法を用いることが特徴である。
「選択公理とツォルンの補題はZF上で同値である」、というような集合論の古典的定理は、逆数学プログラムの予兆となるものだった。しかし、実際の逆数学では主に、集合論の公理ではなく、通常の数学の定理を研究するのを目的とする。
逆数学は大抵の場合、2階算術について実行され、定理が構成的解析と証明論に動機付けられた2階算術の部分体系のうち、どれに対応するのかを研究する。 2階算術を使うことで、再帰理論からの多くの技術も利用できる。
実際、逆数学の結果の多くは、計算可能性解析の結果を反映している。
逆数学は、Harvey Friedman (1975, 1976)によってはじめて言及された。基本文献は(Simpson 2009)を参照。
298(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)15:38 ID:0oc9Ztsl(20/28)調 AAS
>>296
>好きに番号はつけて下さい。
はい
では、>>295の正則性公理の表記に合わせて、
∋関係の順序列の最小要素から順に、0または1を、
そして可付番なら、その後は自然数の順で番号付けをすることを
要求します
>>>293の各X[m]がいずれも空集合にならない事は理解できますか？
各X[m]の定義を、上記要求に合わせ
X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]}
↓
X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i+1]∋x[i]}
と書き直して良いですよね？
正則性公理を前提として、m>=2でX[m]は空集合ではないですね
m=1で、x1＝Φとしても、X[1]は、空集合にはならないですね
299: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)15:51 ID:0oc9Ztsl(21/28)調 AAS
>>227
>・順序対 (x,y)と集合 {{x},{x,y}}との同一性。
追加
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%AF%BE
順序対
(抜粋)
目次
1 一般論
2 直観的な定義
3 集合論による順序対の定義
3.1 ウィーナーの定義
3.2 ハウスドルフの定義
3.3 クラトフスキーの定義
3.4 クワイン?ロッサーの定義
3.5 カントール?フレーゲの定義
3.6 モースの定義
4 圏論
一般論
数学の広範な分野において記号 (a, b) はざまざまな意味で用いられ、そうしたものの中で顕著な例はたとえば実数直線上の開区間を挙げることができるだろう。記号の意味は文脈に完全に依存しており、意味を取るためには文脈に注意しなければならない
直観的な定義
門書の類いにおいては、順序対の定義としてやや不正確だが直観的に
二つの対象 a, b に対し、順序対 (a, b) とは、対象 a, b をこの順番で指定する記法である[3]
というような形で与えるものがある。
このような「定義」は、記述的に与えられたにすぎず、また並べる「順番」というのも直観的に与えられたものでしかないから、厳密な意味での定義と呼ぶには不十分である。
もっともよく用いられるのがカシミール・クラトフスキーによるもの（後述）であり、その定義は1970年に出版されたブルバキ『集合論』の第二版で用いられた。順序対を直観的に導入する教科書でも、クラトフスキーによる厳密な定義に演習問題の中で言及するといったものも少なくない。
集合論による順序対の定義
クラトフスキーの定義
Kuratowski (1921) は今日的に広く受け入れられている順序対 (a, b) の定義[5][注 4]
(a,b)_K:={{a},{a,b}}}
を提唱した。注目すべきは、これが第一成分と第二成分が等しいときにも
p=(x,x)={{x},{x,x}}={{x},{x}}={{x}}
として有効な定義になっていることである。
圏論
集合の圏における圏論的な直積 A × B は、第一成分が A に属し、第二成分が B に属する順序対全体の成す集合を表現する。この文脈では上で述べた順序対の特徴づけは、直積の普遍性と集合 X の元が（ある一元集合）1 から X への射と同一視されるという事実とからの帰結である。別の対象が同じ普遍性を持つかもしれないが、それらはすべて自然同型である。
301(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)17:05 ID:0oc9Ztsl(22/28)調 AAS
>>300
ちょっと意味がとれない
１）>>295より（坪井明人 筑波大）”正則性公理は、「空でない集合 x には ∈ に関して極小となる元 z ∈ x があること」です”は、いいですか？
２）「Ω=x1∋x2∋x3」に対し、
上記の”数理論理学ＩＩ 坪井明人 筑波大”の「大小」の意味（”極小となる”などの表現）で
大小記号”＞”を流用して表現しますと
”x1＞x2＞x3”と、通常の自然数の大小関係が逆転した表現になるということの理解は、良いですか？
３）確かに、別に表記は何でも言いとは言える。例えば
Ω = x1(=xｧ) ∋ x2(=xｨ) ∋ x3(=xｩ)
と、半角の小カナ ｧ、ｨ、ｩ でも何でも、名付けを変換しても同じです。数学の本質は不変です
４）ですが、自然数”1、2、3・・”の通常の大小関係を逆転し、錯覚させる表記は、”百害あって一利無し”と思いますよ！（というか、自分が何か錯覚していませんか？）
以上
304(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)17:49 ID:0oc9Ztsl(23/28)調 AAS
>>302
(引用開始)
{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
には最大値が存在する。
(引用終り)
えーと、順序集合で、「半順序・全順序」意識していますか？
それ、∈関係で、全順序なのでしょ？
で、有限長さの全順序の列が存在する
最大値＝最大の集合という意味なんのでしょうが
それ、ほとんど自明でしょ？
で、番号付けを通常と逆転させて、なにか錯覚しているだけと思いますけど
全順序の有限長さの列で、最大元と最小元とが存在することは、認めますよ
殆ど自明だから、証明は不要で、認めますよ
それより、番号付けを正常にしましょうよ
そういう、倒錯した番号付けはなしですよ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88
順序集合
(抜粋)
定義
全順序集合、半順序集合、およびこれらよりさらに弱い概念である前順序集合の定義を述べる為にまず以下の性質を考える。ここで P は集合であり、「<=」を P 上で定義された二項関係とする。
「<=」が全順序律を満たさない場合、「a <= b」でも「b <= a」でもないケースがある。このようなケースにあるとき a と b は比較不能 (incomparable) であるという。
前順序・半順序・全順序
305: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)17:52 ID:0oc9Ztsl(24/28)調 AAS
>>302
>X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]}
>が全てのmについて空集合とならない事が導かれるという主張なんです。
その、(x1,x2,‥,xm) って表記が公理的じゃないのだが
空集合でないことも、殆ど自明でしょ？？
310(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)22:05 ID:0oc9Ztsl(25/28)調 AAS
>>309
http://mickindex.（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
ミック
再帰集合とSQL 2017/06/22
(抜粋)
色々な自然数の帰納的定義
ノイマン型
0 = Φ
1 = {0} = {Φ}
2 = {0, 1} = {Φ, {Φ}}
3 = {0, 1, 2} = {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}
・
ツェルメロ型
0 = Φ
1 ={Φ}
2 ={{Φ}}
3 ={{{Φ}}}
(引用終り)
で、ちょっと多く{Φ}に関する部分だけを取り出して、書くと
0 Φ
1 {Φ}
2 {Φ, {Φ}}
3 {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}
4 {Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}}
5 {Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}}}
・
・
ここで、分出公理を使って、例えば「3」で、
{Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}ですが
一番右{Φ}}}}だけを残して、
他の「 Φ, {Φ}, {Φ, 」を取り除く
すると、{{{Φ}}}となります。
これは、つまり、これはツェルメロ型の構成なのです
つまり
2 {Φ, {Φ}}→分出公理{{Φ}}
3 {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}→分出公理{[{Φ}}]
4 {Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}}→分出公理[[{{Φ}}]]
5 {Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}}}→分出公理[[{{Φ}}]]
・
・
n {Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,・・{Φ}}}}}・・}}→分出公理{{・・{{{{{Φ}}}}}・・}}
つまり、ノイマン型から、分出公理で一番右のΦのみを残し他のΦを省いた集合を作ると、それはツェルメロ型になる
これは、ノイマン型の有限、無限に関わらず可能。（ノイマン型から作る無限集合のＮやＺやＱやＲを扱えるのですから、当然ですが）
ノイマン型とツェルメロ型とは、全く無関係ではなく、ノイマン型の中にツェルメロ型を含んでいるのですよ
だから、ノイマン型の集合が存在すれば、ツェルメロ型の集合も存在もします
311(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)22:08 ID:0oc9Ztsl(26/28)調 AAS
>>309
>{{…}} は正則性公理に反するのでZF内には存在できません
（>>189より）
正則性公理は、無限降下列を禁止するが、その無限降下列の意味は、
”無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ ”は
底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味です
ノイマンの自然数構成のような∈関係の無限上昇列を禁止するものではないのです
（>>159-160ご参照）
なお、>>310もご参照
313(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)22:33 ID:0oc9Ztsl(27/28)調 AAS
>>293
(引用開始)
Ω=x1∋x2∋‥‥∋xm
X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]}
(引用終り)
？
xmをいくらでも小さく取れるということですか？
それこそ、正則性公理で禁止されていることですよ
つまり、ZFCで空集合Φに、ノイマン型で後者関数を使って、自然数を作る
最小値（集合） 0＝Φで、これが最小値（集合）
ノイマン型で
0∈1∈2∈・・∈n・・
となって
最小値（集合） 0＝Φより、小さい値（集合）は存在しません！
一方、大きな値（集合）は、可能です
無限大も可能です（もちろんアレフ1もアレフ2も可能です）
なお、正則性公理の規定によって、∈関係において、∈は等号の意味は含みません
つまり、「X∈X」は禁止されていますので、「・・X∈X∈X∈X」という等号型の無限ループは許されていません
さて、そろそろ宜しいでしょうか？
私は、(>>257)『おっさんずラブ』ならぬ、おっさんずゼミ(゜ロ゜;
（どこのだれとも知れぬ”名無しさん”＝おっさんたちと、ゼミやる気ないです（＾＾；
大学教員だとかいうなら、話は別ですがね）
そんな趣味ないので、あしからずご了承ください ｗ（＾＾；
（たまに冷やかしで書くかも知れませんが、そのときはよろしく）
314(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)22:38 ID:0oc9Ztsl(28/28)調 AAS
>>312
＞ωの一番右のΦってなんだよ？ｗ
その質問は、哀れな素人さんの無限に関する質問に類似
＞有りもしないものが見えるとか、
現代数学の概念は、抽象的なものが多いよ。知らないみたいだね(゜ロ゜;
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