[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
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902: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)00:04 ID:khSgay+Z(1/9)調 AAS
>>901
たしか、下記「第14章 可解置換群」がそうだったと思うよ
いや、書棚に本はあるけど、確認が面倒なんで、記憶で書くけど（＾＾
https://www.nippyo.co.jp/shop/book/5421.html
ガロワ理論(下)
デイヴィッド・A. コックス 著 梶原 健 訳
発刊年月 2010.09
日本評論社
第4部 さらに続く話題
第14章 可解置換群
(引用終り)
因みに、ガロア第一論文の最後の定理が
「可解な5次方程式」についての定理（ガロア群による判別）なんだよねｗ（＾＾
903(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)00:12 ID:khSgay+Z(2/9)調 AAS
>>901 追加
確か、元吉文男さん、参考文献に、エム・ポストニコフをあげていたね（＾＾
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0848-01.pdf
[PDF]5 次方程式の可解性の高速判定法 - 元吉文男 著 - ?1993 RIMS, Kyoto University
http://peng225.hate（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
ペンギンは空を飛ぶ
2018-03-07
5次方程式の解を巡る旅 ?5次方程式の可解性判定編?
(抜粋)
Galois理論
前回の記事で3次・4次方程式のresolventについて説明した。本稿ではここまでの内容を総括し、5次方程式の可解性判定について述べる。
5次方程式の可解性判定
5次方程式のresolvent
911(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)07:09 ID:khSgay+Z(3/9)調 AAS
>>904
ID:rXxqe236さん、どうも。スレ主です。
レスありがとう（＾＾
(引用開始)
>この「S_5の位数20の部分群 (12345)ｘ(2354)」は
> >>805に書いておいたが、べき根で可解な既約5次方程式での最大の群だよ
>この5次方程式は、二項方程式ではない
x^3-2=0 という方程式のQ上のガロア群はS_3だが
1の3乗根を添加した体上ではC_3に縮小する。
一般3次方程式のガロア群はS_3だが
1の3乗根を添加してもS_3のまま。
しかし、べき根解法には1の3乗根は必要。
この話の類似が5次の場合にもあるんじゃないかな。
つまり、位数20のガロア群をもつ5次方程式は一般的には二項方程式ではないが
Mara Papiyasが言うように二項方程式になるケースもある。
(引用終り)
この話は、基礎体をQとして、Qに必要なベキ根を添加した体をQ’として
ベキ根を添加した体Q’をベースに、方程式のガロア群を考えるのが、ベキ根拡大の基本です
詳しくは、下記を
繰返すが、下記「クンマー拡大は巡回拡大でその拡大次数は n の約数である」をいうためには、
「K が 1 の原始 n 乗根を含む拡大体 K(α)」が必須ってことです
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E6%A0%B9
冪根
(抜粋)
目次
4 冪根拡大
冪根拡大
K を体とし、a ∈ K の任意の 1 つの冪根 α = n√a を添加する拡大 K(α)/K を K の冪根拡大 (radical extension) という。
もし K が 1 の原始 n 乗根を含むなら拡大体 K(α) は二項多項式 x^n - a の最小分解体となり、この二項多項式は重根を持たないので拡大はガロア拡大となる。
これをクンマー拡大 (Kummer extension) と呼ぶ。
クンマー拡大は巡回拡大でその拡大次数は n の約数である。
逆に n の約数 d に対し、拡大次数が d であるような巡回拡大 L/K は、K が 1 の原始 n 乗根を含むという仮定の下で、クンマー拡大である。
このことから、ある方程式が係数に対して四則演算と冪根を添加する操作を有限回繰り返すことで解ける（代数的に可解である）ならば、ガロア群は巡回群のみからなる組成列を持たなければならないことになる。
この性質は、抽象群に対して可解群の概念として定式化される。
912(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)07:37 ID:khSgay+Z(4/9)調 AAS
>>909
ぱち ぱち ぱち、拍手！
ご苦労さんｗ（＾＾；
さて、じゃおれも
(>>858より 下記”１のｎ乗根 （Joh著）”から）
「Q 上のベクトル空間と見た場合には ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 が基底を張ることになります．
あれ， 1 は基底に無いのでしょうか？要りません．」
の話において
「1+ζ + ...+ζ ^n-1=0 がなりたつため， ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 と 1 は独立ではないのです．」
は、ベクトル空間の基底で”1は不要”の話は、”1”みならず、任意のζ^m (1<=m<=n-1)の1つを基底から外すことが可能
（∵ 1+ζ + ...+ζ ^n-1=0で、一次従属なので、どれでも1つを外すことが可能）
よって、群を考えるときは、単位元が欲しいので、
最上位のζ ^n-1を外して
”1 , ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-2 とn-1個 が基底を張る”とすれば、
クンマー拡大の巡回拡大（>>911）と同じ議論に乗ります （＾＾
（参考）
http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/
１のｎ乗根 （Joh著） 物理のがきしっぽ
(抜粋)
系
Q に 1 の n 乗根 ζ を添加した拡大体を E とすると， [E:Q]=φ (n) がなりたちます．
さらにガロア群 G (E/Q) は Zn^xに同型となります．
拡大体の基底に関する注意
拡大体の次数について注意です． x^n-1 の解 ζ を使い，拡大体 Q(ζ) を考えます． Q(ζ) の元は，一般に a1ζ + a2ζ^2 +...+an-1ζ^n-1 と表わされ， Q 上のベクトル空間と見た場合には ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 が基底を張ることになります．
あれ， 1 は基底に無いのでしょうか？要りません．
ベクトルの足し算だと思って図形的に考えればすぐに分かりますが， 1+ζ + ...+ζ ^n-1=0 がなりたつため， ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 と 1 は独立ではないのです．
1 の n 乗根を添加するとき，拡大次数を間違わないように注意して下さい．
http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/Joh-SolvExample1.gif
例えば 1 の五乗根． 1+ζ + ζ^2 +ζ^3 + ζ^4=0 となる．
(引用終り)
913(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)07:47 ID:khSgay+Z(5/9)調 AAS
>>912
＞ 1+ζ + ...+ζ ^n-1=0
これは、二項方程式 x^n - 1=0
で、
下記の根と係数の関係を適用すると
上記の方程式のn-1次の項が0であることから
導かれるね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%B9%E3%81%A8%E4%BF%82%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%96%A2%E4%BF%82
根と係数の関係
(抜粋)
根と係数の関係
n 個の文字 α1, α2, ..., αn に関する p 次基本対称式を s p(α1, α2, ..., αn) あるいは単に sn,p とする。
例えば
sn,1 = α1 + α2 + … + αn,
・
・
sn,n = α1α2… αn.
x に関する n 次式 anx^n + an?1x^n?1 + … + a1x + a0 の根が α1, α2, ..., αn であるとき、
sn,n-k=(-1)^{n-k}・ak/an
（k = 0, 2, ..., n ? 1）が成り立つ。これを多項式の根と係数の関係という。
940(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)20:51 ID:khSgay+Z(6/9)調 AAS
>>938
＞まさしくスレ主の言う位数20の可解群を持つ方程式になってるわけですよ、Q上のね。
ID:rXxqe236さん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
いや
ご指摘の通りです
Q上で、5次方程式の既約 ２項方程式 x^5-a＝0 のガロア群、位数20の可解群を持ちます
ご指摘の通りです m(＿ ＿)m
941(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)22:08 ID:khSgay+Z(7/9)調 AAS
>>914 >>934-935
ID:rXxqe236さん、ID:448PbhX4さん、あなたたちが正しいわ
大変失礼しました。円分多項式（円周等分多項式）ですよね
草場公邦 「ガロワと方程式」P118 5.5 「円周等分多項式の既約性」
に、詳しい説明がありました
とすると、”１のｎ乗根 （Joh著） 物理のがきしっぽ”さん http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/
ｎ＝pのときのイメージのままで書いているのかも（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F
円分多項式
このように n 乗して初めて 1 となる複素数（1 の原始 n 乗根）全てを根に持ち、最高次数の項の係数が 1 である多項式が円分多項式 Φn(x) である。
https://ndu-rep.repo.nii.ac.jp/?action=repository_uri&item_id=517&file_id=22&file_no=1
円周等分多項式の有理数体上での既約性
著者桜岡 充
雑誌名日本歯科大学紀要. 一般教育系
巻28
ページ9-14
発行年1999-03-20
http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11467-6/
ガロワと方程式
A5変／192ページ／1989年07月10日
ISBN978-4-254-11467-6 C3341
草場公邦 著
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/bessatsu/open/B50/pdf/B50_015.pdf
ラグランジュとガウスの代数方程式論の比較的考察
高瀬正仁
九州大学 MI 研究所/日本オイラー研究所
(抜粋)
円周等分方程式の代数的可解性を全面的に保証するにはこれでは不十分であり,もっと精密な
相互関係を明らかにしなければならないが,ガウスはこれに成功し,『アリトメチカ研究』の第7
章において円周等分方程式の根は巡回的であることを明らかにした.代数的可解性は根の巡回性に
支えられているのである.
円周等分方程式の領域ではラグランジュの省察は正鵠を射ていたが,具体的に表れたものはなお
雛形に留まっていた.根の相互関係への着目という一点においてガウスに影響を及ぼしたのは間違
いないが,ガウスが発見した根の巡回性はラグランジュの到達した地点からあまりにも遠いところ
にあった.それでもラグランジュはガウスが遂行したことの意味合いを理解して,書簡を送ってガウスを称讃した.
942(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)22:13 ID:khSgay+Z(8/9)調 AAS
>>940 追加
巡回群については、下記が参考になるでしょう
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/101850/1/0722-02.pd
巡回群をガロア群に持つ5次方程式の判別とその解法(数式処理と数学研究への応用)
元吉 文男
数理解析研究所講究録 (1990), 722: 17-20
943(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)22:50 ID:khSgay+Z(9/9)調 AAS
>>941 追加情報
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/bessatsu-j.html
講究録別冊 数理解析研究所
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/232866
RIMS Kokyuroku Bessatsu B50:
Study of the History of Mathematics
ed. T. Ogawa
June, 2014 Contents 259pp
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/232884/1/B50-15.pdf
ラグランジュとガウスの代数方程式論の比較的考察 (数学史の研究)
高瀬, 正仁 (2014-06)
数理解析研究所講究録別冊 = RIMS Kokyuroku Bessatsu, B50: 219-228
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