現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む73

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948(5): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/01(木)13:38 ID:mC1KhRVe(1/9)調 AAS
>>945
哀れな素人さん、どうもスレ主です。

(引用開始)
数学は公理と定義の設定次第でどう解釈しても良い、
と思っていることが分る（笑
公理と定義が間違いなら、その上に構築された理論は
すべて間違いである、という、この単純な常識が分っていない（笑
無限は存在しないのだから無限公理は間違いであり、
無限公理の無矛盾性などいちいち証明する必要はない（笑
(引用終り)

”数学は厳密の学”（>>864）ではありますが、
下記、コトバンク【数学基礎論】19世紀末に ”数学は重大な危機に陥った”とありますように
哀れな素人さんのような考え方では、まずいとなりました。
（詳しく説明すると長くなるので省略）
そこで、下記「数理論理学」として、”公理主義を取って、一階述語論理に制限しよう”（ヒルベルト）というのが、20世紀の前半でした
20世紀の後半から、いろんな発展がありました
そして、コンピュータサイエンスの発展もありました
なので、数理論理学は非常に多様化しているのが、21世紀の現在の状況なのです
”数学は厳密の学”の一言では、簡単に言い切れないのが、現状です

（参考）
https://kotobank.jp/word/%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB%E7%90%86%E8%AB%96-142533
コトバンク
モデル理論（英語表記）model theory

世界大百科事典内のモデル理論の言及出典｜株式会社平凡社世界大百科事典第２版について | 情報
【数学基礎論】より
…数学は矛盾のない理論体系と信じられており，諸科学の中でももっとも厳密な論証を誇るものとして，およそそのよって立つ基盤がゆらぐようなことがあろうなどとは考えられなかった。
ところが，19世紀末G.カントルによって創設された集合論はまもなく逆理を生じた(パラドックス)。カントル自身が発見した逆理(1899)，ブラリ=フォルティの逆理(1897)やラッセルの逆理(1903)がそれである。
集合論におけるすこぶる有効な用法ときわめて類似したしかたによって容易にこれらの逆理が導かれるのみならず，同時期に提出されたリシャールの逆理(1905)〈25字以内の字数によっては定義されない最小の自然数は，現にこの文章によって25字で定義されている〉とともに，ほとんど形式論理の範囲内で現れることから数学は重大な危機に陥った。…

つづく

949(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/01(木)13:39 ID:mC1KhRVe(2/9)調 AAS
>>948
つづき

【超準解析】より
…すなわち，無限小量は追放され，極限概念は〈任意の正数εに対してかくかくの性質をもつ正数δが存在する〉という述語論理式によって表現される。それからほぼ100年後，数学基礎論の中からモデル理論が生まれる。モデルとは形式的な理論を解釈する枠組みであるが，一定の条件を満たす理論には標準的でないモデルが存在する。…

【モデル】より
…しかし，こういっても，それにはさまざまな種類がある。　まず大きく分けると，科学におけるモデルは，〈対象モデル〉と〈モデル理論〉に分けられる。そして一般に科学においてモデルというとき，それは対象モデルを意味することが多い。…

※「モデル理論」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E7%90%86%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AD%A6
数理論理学

数理論理学はしばしば集合論、モデル理論、再帰理論、証明論の4つの領域に分類される。これらの領域はロジックのとくに一階述語論理や定義可能性に関する結果を共有している。計算機科学（とくにACM Classification（英語版））における数理論理学の役割の詳細はこの記事には含まれていない。詳細は計算機科学における論理学（英語版）を参照。

下位分野
Handbook of Mathematical Logic (Barwise 1989)は数理論理学を大まかに次の4つの領域に分類している：

1.集合論
2.モデル理論
3.再帰理論
4.証明論と構成的数学（これらはひとつの領域の2つの部分と見做される）

数理論理学の発祥
言葉を、代数学におけると同様に文字や記号の列で表して、その変換について研究するいわゆる記号論理学、数理論理学の発祥は、19世紀のジョージ・ブールによる「論理代数」、ゴットロープ・フレーゲの書『概念記法』に見ることができる。前者は命題論理、後者は述語論理の原型である。

他に直観主義論理、量子論理などがある。

つづく

950(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/01(木)13:40 ID:mC1KhRVe(3/9)調 AAS
>>949
つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Logic_in_computer_science
Logic in computer science

Logic plays a fundamental role in computer science. Some of the key areas of logic that are particularly significant are computability theory (formerly called recursion theory), modal logic and category theory.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
一階述語論理

951(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/01(木)13:56 ID:mC1KhRVe(4/9)調 AAS
>>948
(引用開始)
数学は公理と定義の設定次第でどう解釈しても良い、
と思っていることが分る（笑
公理と定義が間違いなら、その上に構築された理論は
すべて間違いである、という、この単純な常識が分っていない（笑
無限は存在しないのだから無限公理は間違いであり、
無限公理の無矛盾性などいちいち証明する必要はない（笑
(引用終り)

１）なので、21世紀の数理論理学は、多様だということを、まずご認識ください
２）「数学は公理と定義」がされた後は、”数学は厳密の学”です
　しかし、どういう「公理と定義」を選ぶのかは、その人の自由です
３）「無限は存在しない」は、証明できません
　「無限は存在する」も、証明できません
　だから、「無限」は、公理なのです
　公理として認めるか認めないかなのです
４）最後に、「数学は公理と定義」した後は、”数学は厳密の学”ですが、小説やマンガの世界と思ってください
　まあ、SFの世界でしょうか？「SFの世界」として、首尾一貫つじつまは合っている
　しかし、「SFの世界」が、現実の世界そっくりとか、如何にもありそうでも
　それが、現実の世界と適合しているかどうかを、数学は問いません
　あくまで、架空の世界の中で、論理が一貫して矛盾が無ければ、数学としては成立です
　現実の世界と適合しているかどうかを問うのは、物理とか別のサイエンスです

おそらく、理解できないと思いますが
でも、これが理系の世界なのです

952(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/01(木)14:15 ID:mC1KhRVe(5/9)調 AAS
>>948 補足
＞リシャールの逆理(1905)〈25字以内の字数によっては定義されない最小の自然数は，現にこの文章によって25字で定義されている〉とともに，ほとんど形式論理の範囲内で現れることから数学は重大な危機に陥った。…

リシャールの逆理は、二階述語論理によるものとして、一階述語論理に制限することで、”逆理”を避けようということですね
なお、リシャールの逆理の原因は、自己言及（二階述語論理）にあるということです
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
一階述語論理
(抜粋)
一階述語論理の表現力
一階述語論理は、数学のほぼ全領域を形式化するのに十分な表現力を持っている。
実際、現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる。
すなわち、数学の命題は一階述語論理の論理式によって記述することができ、そのように論理式で記述された数学の定理には ZFC の公理からの形式的証明 (formal proof) が存在する。
このことが一階述語論理が重要視される理由の一つである。

956(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/01(木)16:55 ID:mC1KhRVe(6/9)調 AAS
>>948＆>>952
補足
＞リシャールの逆理(1905)〈25字以内の字数によっては定義されない最小の自然数は，現にこの文章によって25字で定義されている〉
　↓
正しくは
＞リシャールの逆理(1905)〈25字以内の字数によっては定義されない最小の自然数は，現にこの文章によって25字以内で定義されている〉

だな、きっと（＾＾
そして、本当は、ベリーのパラドックスらしいｗ（＾＾；
なお、リシャール数をヒントに、ゲーデルはゲーデル数を考えて、「不完全性定理の証明に用いた」と言われる（＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
リシャールのパラドックス
なお誤ってベリーのパラドックスがリシャールのパラドックスとして紹介されることがある。

パラドックスの源泉
リシャールが構成しようとする数をリシャール数と呼ぶと、この数を構成するための操作的定義のうちにリシャール文によって順序付けた実数の集合全体が暗黙のうちに含まれていると考えられる（循環定義）。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ベリーのパラドックス
(抜粋)
ベリーのパラドックス（ベリーの逆説）はパラドックスのひとつ。

「19文字以内で記述できない最小の自然数」という文を考える。自然数は可算無限に存在する一方で、日本語19文字で行える記述は有限通り（文字の種類の19乗）であるから、日本語19文字で表現できない自然数は必ず存在する。
つまり、「19文字以内で記述できない最小の自然数」という文章は明確にある自然数を一意に定義している。しかしながら、実際に「19文字以内で記述できない最小の自然数」を求めてみると、「19文字以内で記述できない最小の自然数」であるにも関わらず、「19文字以内で記述できない最小の自然数」という19文字で表現が可能であり、「19文字以内で記述できない最小の自然数」という定義に合致しない。

ZFCなどの公理系は、上記のような非形式的な定義の方法を許可しないことでこのパラドックスを回避している。
つづく

957: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/01(木)16:55 ID:mC1KhRVe(7/9)調 AAS
>>956
つづき

「自然言語による数の定義」から生まれるパラドックスは他にリシャールのパラドックスが存在し、混同・同一視されることもある[1]。矛盾を導くために実数を構成する必要がないぶんベリーのパラドックスの方が平易である。

イギリスの図書館職員G.G.ベリーに由来する名称の逆説である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E6%95%B0
ゲーデル数
(抜粋)
ゲーデル数（ゲーデルすう、英: Godel number）は、数理論理学において何らかの形式言語のそれぞれの記号や整論理式に一意に割り振られる自然数である。クルト・ゲーデルが不完全性定理の証明に用いたことから、このように呼ばれている。また、ゲーデル数を割り振ることをゲーデル数化（英: Godel numbering）と呼ぶ。
(引用終り)
以上

959(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/01(木)16:57 ID:mC1KhRVe(8/9)調 AAS
>>955
哀れな素人さん、どうもスレ主です。

＞youtubeに数学動画を上げている連中の、連絡先を調べてみた。
＞僕の数学本も、その後ちっとも売れないので、
＞こういう連中に本の宣伝メールを送ってみようかと思っている。

動画作ってアップするのはどう？（＾＾；
自説を解説するやつ

962(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/01(木)18:27 ID:mC1KhRVe(9/9)調 AAS
>>961
哀れな素人さん、どうもスレ主です。

>そんなことをしたら、これを最初に発表したのは私だ、
>と手柄を横取りする奴が出て来るに決まっている（笑

いや、それは逆ですよ
”手柄を横取りする奴が出て来る”くらい、凄い理論だったと
昔のノーベル化学賞の田中耕一さんの事例がありますよ

ちゃんと発表の裏付けがあれば、「おれに優先権があるぞ」という主張は認められます
それが、理系の世界ですよ（＾＾
（文系は違うのかもねｗ（＾＾；）

参考（細かい経緯は、”ノーベル化学賞受賞木村美実子青山紘一情報管理 2002 特報版”ご参照）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%94%B0%E4%B8%AD%E8%80%95%E4%B8%80
田中耕一
(抜粋)
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/72/Koichi_Tanaka_2003.jpg

レーザーイオン化質量分析技術

この「レーザーイオン化質量分析計用試料作成方法」は、1985年（昭和60年）に特許申請された。

現在、生命科学分野で広く利用されている「MALDI-TOF MS」は、田中らの発表とほぼ同時期にドイツ人化学者のフランツ・ヒレンカンプ (Franz Hillenkamp) とミヒャエル・カラス (Michael Karas) により発表された方法である。MALDI-TOF MS は、低分子化合物をマトリックスとして用いる点が田中らの方法と異なっており、より高感度にタンパク質を解析することができる。

評価とノーベル賞受賞
上記の功績が評価され、田中の開発した方法を「ソフトレーザー脱離イオン化法」として、ノーベル化学賞を2002年に受賞する。

なお、ノーベル賞受賞決定にあたり、何故ヒレンカンプやカラスではないのかという疑問の声が上がり、田中自身も自分が受賞するのを信じられなかった原因に挙げている[10]。経緯として、英語論文発表はヒレンカンプとカラスが早かったが、2人はそれ以前に田中が日本で行った学会発表を参考にしたと書いてあったため[11]、田中の貢献が先と認められた[12]。

https://www.jstage.jst.go.jp/article/johokanri/45/8/45_8_s6/_pdf/-char/ja
ノーベル化学賞受賞木村美実子青山紘一情報管理 2002 特報版

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