[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む42 [無断転載禁止]©2ch.net (795ﾚｽ)
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706(2): 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/09/30(土)15:50 ID:RVfojIiC(12/14)調 AAS
>>705 つづき
下記の関数の連続性のε−δ論法を見て下さい
１）関数f(x)がf(a)で連続と言いたい。つまり、f(a)の周りに、必ず任意の（小さな）有限部分が取れる
↓
２）関数f(x)がf(a)で連続とは、f(a)の近くの、任意の（小さな）有限部分εで、 |f(x)?f(a)|<εを考えたとき、必ず |x?a|<δとできる
これ、「・・・は、任意の有限部分が○○のとき、○○ 」という言い方と同じ構造なんですよ
あとの、関数の極限の厳密な定義も同じです
１）lim(x→a)f(x)=A の意味（定義）：f(x)で、極限Aに対し、必ず任意の（小さな）有限部分εが取れ、 |f(x)?f(a)|<εとできる
↓
２）任意の正の実数 ε に対して，ある正の実数 δ が存在して，|x?a|<δ なら |f(x)?A|<ε（イプシロンデルタ論法による厳密な定義）
これも、「・・・は、任意の有限部分が○○のとき、○○ 」という言い方と同じ構造なんですよ
https://mathtrain.jp/continue
関数の連続性と一様連続性 高校数学の美しい物語 2016/05/22
(抜粋)
連続と一様連続の厳密な定義
連続関数の厳密な定義は冒頭の定義を ε−δ を使って書けばよいだけです。（ε−δ を用いた極限の定義ははさみうちの原理の証明を参照してください。）
一様連続の方が少し難しいです。
・連続性の定義：
考えている区間内の任意の実数 a と，任意の正の実数 ε に対して，ある δ が存在して「 |x?a|<δなら |f(x)?f(a)|<ε 」が成立する。
・一様連続性の定義：
任意の正の実数 εε に対して，ある δ が存在して，
「考えている区間内の任意の実数 aa に対して，|x?a|<δ なら |f(x)?f(a)|<ε 」が成立する。
非常に似ているので混乱しやすいです，じっくり考えてみてください。
「連続」の場合には場所 a に応じて適切な δ を持ってくればよいのですが，
「一様連続」の場合には場所 a によらない共通の δ を持ってこないといけないので一様連続の方が強い定義になっているわけです。
ε−δ を用いた定義に従って例で紹介した関数たちが連続，あるいは一様連続であることを証明するのがよい練習問題になります。
「連続」は局所的な概念，「一様連続」は大域的な概念です。
(引用終り)
つづく
707: 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/09/30(土)15:50 ID:RVfojIiC(13/14)調 AAS
>>706 つづき
http://mathtrain.jp/epsilondelta
イプシロンデルタ論法とイプシロンエヌ論法 高校数学の美しい物語 2016/05/01
(抜粋)
関数の極限の厳密な定義
lim(x→a)f(x)=A の意味（定義）は，
x が限りなく a に近づくとき，f(x) は限りなく A に近づく（高校数学）
→ |x?a| が限りなく小さくなるとき，|f(x)?A| が限りなく小さくなる
→ どんなに小さな正の ε に対しても |x?a| を十分小さくすれば |f(x)?A|<ε となる
→ 任意の正の実数 ε に対して，ある正の実数 δ が存在して，|x?a|<δ なら |f(x)?A|<ε（イプシロンデルタ論法による厳密な定義）
(引用終り)
以上
727(1): 2017/09/30(土)19:07 ID:8dEJ6T68(10/12)調 AAS
>>706
＞下記の関数の連続性のε−δ論法を見て下さい
＞１）関数f(x)がf(a)で連続と言いたい。つまり、f(a)の周りに、必ず任意の（小さな）有限部分が取れる
＞ ↓
＞２）関数f(x)がf(a)で連続とは、f(a)の近くの、任意の（小さな）有限部分εで、 |f(x)?f(a)|<εを考えたとき、必ず |x?a|<δとできる
＞これ、「・・・は、任意の有限部分が○○のとき、○○ 」という言い方と同じ構造なんですよ
コンパクトの場合の有限個（＝自然数個）と、εの有限（＝正の実数値）を
全く同じ意味だと思うのは、大学数学の教育が欠如しているせいだろう
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