[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む42 [無断転載禁止]©2ch.net (795ﾚｽ)
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636(3): 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/09/28(木)08:14 ID:11GivwC6(5/7)調 AAS
>>635 つづき
極限について、分かり易い資料があるので、貼っておく
https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6III/%E6%A5%B5%E9%99%90
高等学校数学III/極限
(抜粋)
4 [コラム]よく有る疑問とその回答
4.1 極限値の実在
4.1.1 無限大と無限小の実在について
[コラム]よく有る疑問とその回答
極限値の実在
ここでは、上述のような極限の説明に「なんかウサンクサイ」と思う生徒を対象に、そのような疑問に少しでも応えることを目標とする。よって、そのような疑問を持たない生徒が読んでも、あまり意味はない。
疑問を抱いた諸君、諸君の疑問はいたって正当である。あまりこのようなことを大っぴらに書くべきではないかもしれないが、高等学校における極限の取り扱いは「子供だまし」であり、近代以降の数学では極限という概念はもっと厳密な形で取り扱われている。
極限値という概念に次のような疑問を持つ生徒はいないだろうか。
「限りなくその値に近づけるというだけで、決してイコールには成らないハズだ。そのようなものを考えるのはナンセンスだ。」
ここでは、この問いに対するひとつの解答例を示したいと思う。分り易さを重視しているので厳密では無いが、ひとつの考え方の例として読んでもらいたい。
分数関数 f(x)=1/x を考える。この関数の正の無限大における極限値は 0である。 数式で書くならば以下の通りである。
lim _{x→∞ }f(x)=0
ここで敢えて、この数式には極々小さな正の誤差が紛れ込んでいる、と考える。 xが限りなく無限大に近づいたとしても、 f(x)は絶対にx軸とは交わらず、漸近的に近づいていくだけであるため、無限大であっても等号が成り立つはずは無いからである。
つづく
637: 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/09/28(木)08:15 ID:11GivwC6(6/7)調 AAS
>>636 つづき
そもそもこの誤差の値は、実数であるかどうかすらも怪しい。何故なら、そもそも無限大という数自体が実数とは思えない性質を持っているからだ。 無限大というのは、どの実数よりも大きい数という定義である。この時点ですでに実数の定義からハズレている事がよくわかるだろう。
実数にこの無限大という数が含まれるのであれば、無限大は無限大より大きい、という矛盾が生まれる。 ゆえに、無限大は実数と言う枠組みから外し、実数でない未知の数であると考えるべきだろう。
さて、この未知の数の逆数である 1/∞ はどういう値なのだろうか。当然ながら、これも未知の数であると言わざるを得ない。 無限大の定義より、 1/∞ はどの正の実数よりも小さい正の数、という定義になり、無限大の時と同様に、実数でないことが証明できる。
なお、この数は一般に無限小と呼ばれ、実数に無限小と無限大という概念を加えた数を「超実数」と呼ぶ。
(引用終り)
以上
655: 2017/09/28(木)20:59 ID:r7h0toKI(4/5)調 AAS
>>636
＞極限について、分かり易い資料があるので、貼っておく（ｷﾘｯ）
と、εN論法を知らないバカが申しております
704(2): 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/09/30(土)15:48 ID:RVfojIiC(10/14)調 AAS
>>666
>【悲報】スレ主がεN論法を全く理解していないことが判明
”極限が、数学的帰納法の守備範囲外”であることを理解できていなかったのは、ピエロとその取り巻きだろ（＾＾
前記 >>634および>>636ご参照
ところで、C++さんだけに、こっそりお教えしましょう！（＾＾
εN論法の丸暗記でない方法をね！！（＾＾
えーと、下記でしたね
過去スレ38 2chｽﾚ:math
506 名前： ◆QZaw55cn4c [sage] 投稿日：2017/08/15(火) 19:21:29.42 ID:dNVFG2Rn [2/4]
>>473
基本的な述語論理をやる上では必須ですけれども
この違いを形式的な記述でやろうとしても理解は困難だとつくづく感じております。
∀n∈N,∃m∈N,n≦m
この場合は n が変化するごとに n <= m をみたす m がかわってもいいんですが
∃m∈N,∀n∈N,n≦m
このときの m は n の値にかかわらず共通でなければならないんですよね
そういう風に丸覚えしているんですが、これを形式的に分解して納得するのは困難なのでは？
(引用終わり)
まず、”確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される”（下記時枝記事より）にご注目
”35 2chｽﾚ:math 時枝問題（数学セミナー201611月号の記事）”
「・・・は、任意の有限部分が○○のとき、○○ 」という言い方がキモです
この表現は、確率変数の無限族以外でも結構、現代数学では登場します
例えば、
コンパクト性定理：一階述語論理の文の集合がモデルを持つこと（充足可能であること）と、その集合の任意の有限部分集合がモデルを持つことが同値である
チコノフの定理：位相空間 X の任意の開集合族 {W}について、いかなる {W}の有限部分集合も X を被覆しないのであれば、 {W}も X を被覆しない。
つづく
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