[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む42 [無断転載禁止]©2ch.net (795ﾚｽ)
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370: 2017/09/19(火)11:10 ID:WW1DZ+9Q(1/4)調 AAS
R^4内の多様体を本質を失わずに、R^3に描く方法↓
https://www.amazon.co.jp/review/R2ZLFRMVSILD51/ref=cm_aya_cmt?ie=UTF8&ASIN=4535785937#review-media-gallery_1505786873399
371(1): 2017/09/19(火)11:18 ID:WW1DZ+9Q(2/4)調 AAS
ルベーグ積分の構成に不可欠な「Ｒの開集合は(互いに連結していない複数の)開区間(の和集合)である」ことを以下に証明する。
【証明】
実軸(数直線)Ｒ＝Ｒ^1に含まれる自由に与えた空でな
い開集合Sに対して, 開集合の定義により, 任意の点x_
0∈Sとx_0を含みSの中に有る開区間〈a_0 , b_0〉が
存在する.〈a_0 , b_0〉に入っていない点x_1∈Sが有
れば(〈a_0 , b_0〉を充分小さくして有るようにもで
きる)Sの点x_1を含みSの中に有る開区間〈a_1 , b_1
〉が存在する.〈a_0 , b_0〉と〈a_1 , b_1〉が交わる(
ようにできる)なら〈a_0, b_1〉を作り,〈a_2 , b_2〉
と書くことにする. x_1が無ければ〈a_0 , b_0〉はSで
あるか, x_1が有ってもどれもSでないなら〈a_1 , b_1
〉と〈a_0 , b_0〉は互いに交わらないSの部分集合で
あるから, 両者の和集合 O_1 がSの部分集合であり, S
に等しく成り得る. Sに等しくないなら,〈a_0 , b_0〉
と〈a_1 , b_1〉 , 或いは〈a_2 , b_2〉に入っていない
点x_2∈Sが存在してx_2を含みSの中に有る開区間〈a
_3 , b_3〉が存在する.〈a_2 , b_2〉と〈a_3 , b_3〉が
交わるなら〈a_2 , b_3〉を作り〈a_4 , b_4〉と書く
ことにする. x_2が無いなら O_1 が既にSに等しく, x_
2が有ってもどれもSと等しくないなら O_1 と〈a_3 ,
b_3〉は互いに交わらず, O_1 と〈a_3 , b_3〉の和集
合 O_2 または O_1 と〈a_4 , b_4〉の和集合 O_3 がS
の部分集合であり, Sに等しく成り得る.
372: 2017/09/19(火)11:22 ID:WW1DZ+9Q(3/4)調 AAS
>>371
任意の回数kに対してO(k)に入っていない内点x_k∈S
が有るならx_kを含む(k＋1)個目の開区間〈a_(k＋1) ,
b_(k＋1)〉を作ることができる. 0回目から(k＋1)回目
までに現れた(k＋2)個の開区間の和集合 O_(k＋1) ＝
∪_(i＝0, … , k＋1)〈a_i , b_i〉がSに等しくないなら,
〈a_(k＋1) , b_(k＋1)〉に入っていない内点x_(k＋1)∈
Sが有ってx_(k＋1)を含みSの中に有る開区間〈a_(k＋
2) , b_(k＋2)〉が存在する.〈a_(k＋2) , b_(k＋2)〉と
〈a_(k＋1) , b_(k＋1)〉は交わるか交わらないか片方
に定まる. 交わらないなら O_(k＋2) を作り, 交わるな
ら O_(k＋3) を作る. どちらもSでないなら(k＋2)回目
に同じ操作をする.
任意の自然数 j に対して追加の(k＋j)回の同じ操作が許
される. 結局
S ＝ ∪_(ℓ＝0, 1, 2, 3, … )〈a_ℓ , b_ℓ〉
以外に起こりえない. もちろん任意の回数ℓに対して
各々の開区間〈a_ℓ , b_ℓ〉は互いに交わらない. も
し有限回(n回)の操作でSに等しくなれば(O(n)＝Sとな
れば)m＞nに対して〈a_m , b_m〉は空集合とすれば
よい. すなわち実数全体の集合Ｒの開(部分)集合は互い
に交わらない開区間の(可算個の)和集合である.
（証明終了）
378: 2017/09/19(火)22:00 ID:WW1DZ+9Q(4/4)調 AAS
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