[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む42 [無断転載禁止]©2ch.net (795ﾚｽ)
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632(1): 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/09/28(木)08:07 ID:11GivwC6(1/7)調 AAS
>>619
>じゃあ co-tail の定義を書いてみて。
はいはい、下記をば
"41 2chｽﾚ:math ＜時枝数列の同値類のしっぽの共有部分が空集合でないことについて＞証明と説明"(>>11)
補足情報
"41 2chｽﾚ:math しっぽの共通部分(co-tail）の存在と一致番号が有限範囲に留まることはありえないことの説明"(>>11)
"42 >>382-383の二つの数列のしっぽの共有部分、co-tail’の説明（証明）の追加 >>460-463"
633(3): 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/09/28(木)08:10 ID:11GivwC6(2/7)調 AAS
>>622
ピエロ、馬脚だな（＾＾
無限、極限、数学的帰納法、全てにわたって理解が浅いね
>そしてNは無限公理を満たすが、N~は無限公理を満たさない
「N~は無限公理を満たさない」って、それ認識が間違っているように思うよ。（＾＾
下記、”超実数”だが、無限公理を含むZFC上の理論とあるぜ（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0
超実数
(抜粋)
超冪による構成
ここで一つの疑問が出てくる。それは U とは違う自由超フィルター V を選んだら、その商 A/V は A/U に同型かどうかということだ。
この疑問は、連続体仮説と同等であるということがわかっている。ZFC と連続体仮説を仮定したうえで、これらの体は順序同型で一意的であるということが証明できる。
ZFC と連続体仮説の否定を仮定したうえで、それぞれ可算に添字付けられた実数の超冪で、順序非同型な体のペアが存在することを証明できる。
＜和文と同じ箇所＞
https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number
Hyperreal number
(抜粋)
The ultrapower construction
One question we might ask is whether, if we had chosen a different free ultrafilter V, the quotient field A/U would be isomorphic as an ordered field to A/V.
This question turns out to be equivalent to the continuum hypothesis; in ZFC with the continuum hypothesis we can prove this field is unique up to order isomorphism,
and in ZFC with the negation of continuum hypothesis we can prove that there are non-order-isomorphic pairs of fields that are both countably indexed ultrapowers of the reals.
(引用終り)
>∞+1は、N~の要素でないので、数学的帰納法を満たさない
意味不明の妄想おつ。
普通の数学的帰納法は、あくまで自然数Nの範囲の話だよ（後述）
634(8): 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/09/28(木)08:12 ID:11GivwC6(3/7)調 AAS
>>623
>・Nの場合、co-tailは存在しない
未証明（＝証明できないだろう）だな（＾＾
>・N~の場合、co-tailは、∞番目の項１つ（つまり構成できる）
ピエロくん、分ってないね〜（＾＾
”35 2chｽﾚ:math 時枝問題（数学セミナー201611月号の記事）”（>>11）
より、「箱が・・，可算無限個ある.」の”可算無限個”をどう定義するか。まず、そこを明確にすべし
ここが出発点だ。全ては、ここから始めるべし！
下記二通り可能だ
１．時枝の自然な解釈として、”可算無限個”：箱に自然数Nで番号付けできる＝全単射の存在。つまり、通常の自然数の範囲で考えるべしってことだ
２．なお別に、自然数N→無限大∞を加えた拡張自然数N~で番号付けできるとすることもできる
１の立場だと、Nに∞を含まない。なのでN で、通常の数学的帰納法の範囲内。
（補足１：関数 y=1/x で、自然数Nの範囲では、 1/n > 0 for ∀n∈N で、決して0にならない（”≠0”）。このアナロジーで”≠Φ”ですよ。なお、極限 lim(n→∞) 1/n =0です。
補足２：一方、拡張自然数N~では、1/∞＝0。この違い分るかな？（＾＾ ）
２の立場の説明は、ここでは省略する。自分で考えてみてね（＾＾
なお、どちらの立場でも、co-tailは存在しうる。また、実際に存在する（既述の通り）
>（注：標準的自然数と非標準的自然数の明確な境界は存在しない）
明確に境界は存在するよ。それは、まず、定義するかどうかから始まるよ。それ、数学の常道だがな（＾＾
>つまり、自然数のモデルを標準モデルで考えるなら
>全て標準モデルで通さなくてはならないし
>自然数のモデルを超準モデルで考えるなら
>全て超準モデルで通さなくてはなりません
定義なしに数学をやっちゃいかんってことだな（＾＾
上記既述の通り。それだけのこと
635(3): 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/09/28(木)08:13 ID:11GivwC6(4/7)調 AAS
>>624
>・Rに∞を追加した実射影直線(＝円S^1)
>・Cに∞を追加した複素射影直線(＝球S^2)
あのな、超実数と拡張実数とは、結構違うよ（＾＾
分っているのかね〜（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0
超実数
(抜粋)
1960年代にロビンソンは、超実数体が論理的に無矛盾であることと実数体が論理的に無矛盾であることが同値であることを示した。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
拡大実数
https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line
Extended real number line
つづく
636(3): 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/09/28(木)08:14 ID:11GivwC6(5/7)調 AAS
>>635 つづき
極限について、分かり易い資料があるので、貼っておく
https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6III/%E6%A5%B5%E9%99%90
高等学校数学III/極限
(抜粋)
4 [コラム]よく有る疑問とその回答
4.1 極限値の実在
4.1.1 無限大と無限小の実在について
[コラム]よく有る疑問とその回答
極限値の実在
ここでは、上述のような極限の説明に「なんかウサンクサイ」と思う生徒を対象に、そのような疑問に少しでも応えることを目標とする。よって、そのような疑問を持たない生徒が読んでも、あまり意味はない。
疑問を抱いた諸君、諸君の疑問はいたって正当である。あまりこのようなことを大っぴらに書くべきではないかもしれないが、高等学校における極限の取り扱いは「子供だまし」であり、近代以降の数学では極限という概念はもっと厳密な形で取り扱われている。
極限値という概念に次のような疑問を持つ生徒はいないだろうか。
「限りなくその値に近づけるというだけで、決してイコールには成らないハズだ。そのようなものを考えるのはナンセンスだ。」
ここでは、この問いに対するひとつの解答例を示したいと思う。分り易さを重視しているので厳密では無いが、ひとつの考え方の例として読んでもらいたい。
分数関数 f(x)=1/x を考える。この関数の正の無限大における極限値は 0である。 数式で書くならば以下の通りである。
lim _{x→∞ }f(x)=0
ここで敢えて、この数式には極々小さな正の誤差が紛れ込んでいる、と考える。 xが限りなく無限大に近づいたとしても、 f(x)は絶対にx軸とは交わらず、漸近的に近づいていくだけであるため、無限大であっても等号が成り立つはずは無いからである。
つづく
637: 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/09/28(木)08:15 ID:11GivwC6(6/7)調 AAS
>>636 つづき
そもそもこの誤差の値は、実数であるかどうかすらも怪しい。何故なら、そもそも無限大という数自体が実数とは思えない性質を持っているからだ。 無限大というのは、どの実数よりも大きい数という定義である。この時点ですでに実数の定義からハズレている事がよくわかるだろう。
実数にこの無限大という数が含まれるのであれば、無限大は無限大より大きい、という矛盾が生まれる。 ゆえに、無限大は実数と言う枠組みから外し、実数でない未知の数であると考えるべきだろう。
さて、この未知の数の逆数である 1/∞ はどういう値なのだろうか。当然ながら、これも未知の数であると言わざるを得ない。 無限大の定義より、 1/∞ はどの正の実数よりも小さい正の数、という定義になり、無限大の時と同様に、実数でないことが証明できる。
なお、この数は一般に無限小と呼ばれ、実数に無限小と無限大という概念を加えた数を「超実数」と呼ぶ。
(引用終り)
以上
638(2): 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/09/28(木)08:20 ID:11GivwC6(7/7)調 AAS
>>625-627
私は、現段階では、拡大実数R~やN~は、（使えないわけではないが）使わない＊）
>>634 に示す通り
＊）使わない方が、無限が絡む時枝問題の本質が、分るような気がするから
但し、対比して考えることは、時枝問題を考える上で、大いに意味があると思う
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