現代数学の系譜古典ガロア理論を読む36 [無断転載禁止]©2ch.net

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305: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/07/17(月) 10:22:01.40 ID:wbWSYWVZ

>>304
全部過去スレにあるよ。復習を兼ねて、下記引用しておくよ

決定性公理 過去スレ21
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/190
190 2016/07/24
可測非可測について
１．決定性公理を使えば、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」ことが従う。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
決定性公理を仮定すると、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」「ベールの性質を持つ」「完全集合性（英語版）を持つ」ことが従う。
２．そうやって、決定性公理から弱い形の選択公理（可算選択公理）が導かれ、Lebesgue測度を導入することができる（下記4-6節）
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/29/1/29_1_53/_article/-char/ja/ 決定性公理に関する最近までの諸結果について 無限ゲームの理論 田中尚夫 数学 1977
（また、下記なども参考になるだろう）
http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/papers/shizuoka-ws06-talk.pdf
ルベーク測度の拡張の可能性について 渕野2006
http://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
第I部 構成的集合と公理的集合論入門 渕野 昌 2015
(抜粋)
選択公理は，ツェルメロがこの公理を定式化した当初から色々と物議をかもした公理である．バナッハ=タルスキーの逆理など，我々の物理的直観と相容れない結果を導くこともあるため，問題視されることもある．それにもかかわらずこの公理が通常仮定されるのは，
(1.9) 後述のゲーデルの構成的集合に関する結果から，ZF とZFC とは無矛盾性に関して等価であることが示せること；
(1.10) Shoenfield の絶対性定理により，集合論での命題として表したときにそれほど複雑な形にならない数学的命題については，ZFC での証明が得られれば，それから選択公理を用いない証明を作りなおすことができること；
(1.11) 選択公理のオルタナティヴと考えられる決定性公理の成り立つ世界は，選択公理の成り立つ集合論の「宇宙」の内部モデルとしてとらえることができること- ウディン(H. Woodin) による（本書第II部を参照）；そして何よりもまず，
(1.12) 選択公理の仮定のもとで展開される数学が非常に豊かなものであること，などがその理由として挙げられるだろう．
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1499815260/305

306: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/07/17(月) 10:24:16.21 ID:wbWSYWVZ

>>305 つづき

コーエン 過去スレ29
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/375-377
375 2017/04/11
これ、以前も紹介したが、渕野 昌先生、 12．November 2016 (04:31JST) 版とあるから、改訂されたんやね
が、手元の2014版との違いが分からない
ファイルサイズが大きくなってはいるが
http://fuchino.ddo.jp/misc/cohenx.pdf
“コーエンの強制法” と強制法1) 2)
渕野 昌 12．November 2016 (04:31JST) 版
1) このテキストは，『数理科学』2014 年 10 月号に掲載予定の同名の記事の拡張版です．ページ数の制限のために記事から削除せざるを得なかった細部や，そこには含めないことにしたリマークのいくつかを加えてあります．
377 2017/04/11
https://sites.google.com/site/sendailogichomepage/files/ref/ref_07
数学基礎論と消えたパラドックス 仙台ロジック倶楽部 『数学セミナー』1993年8月号より）
パラドックスから数学基礎論の誕生，不完全定理への流れを解説．
■ はじめに
　ヒルベルトの提起した２３問題の筆頭である連続体仮説の独立性をコーエンが証明してからちょうど３０年になる．
集合論の研究者たちはよく冗談に“コーエン以前”をB.C. (Before Cohen の意)といい、ゲーデル (Goedel) を B.C. の神 (God) であるといったりするが、1960 年代には数学基礎論の各分野でこのような大事件が起きており、まさに基礎論全体の変革期であった．
　６０年代革命の激しさは、その教科書の変化によく現われている．
古き良き時代の教科書（例、文献[1]）にはパラドックスから数学基礎論の誕生に至る歴史が悠然と述べられていたが、
革命後のもの（例、文献[2]）にはパラドックスのパの字の解説もなく、それはもはや禁句になった感すらある．
（残念ながら日本では今もB.C. 時代のイメージが蔓延しているようで、それについては文献[5]の筆者のコメントを参照．）
　このような状況を踏まえた上で、なぜまたここでカビ臭いパラドックスの話を持ち出すかというと、
新歴３０年を迎え、そろそろ新・旧基礎論を総括的に見直そうという気運が高まっているように思うからである．
最近次々と基礎論の専門誌の編集方針が変わったのだが、そこにもそういう動きが読み取れる．
以下略
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1499815260/306

312: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/07/17(月) 12:47:14.61 ID:wbWSYWVZ

>>295 補足

選択公理は仮定する。
（>>305 "第I部 構成的集合と公理的集合論入門 渕野 昌 2015"などから、その方が話は簡単だから）

時枝問題（数学セミナー201611月号の記事より）
命題A：時枝記事の前半 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/13 過去スレ35
「・・　D >= d(S^k) を仮定しよう.この仮定が正しい確率は99/100，そして仮定が正しいばあい，上の注意によってS^k(d)が決められるのであった.・・」

命題B：事時枝記事の最後 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/15 過去スレ35
「確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される」
「n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか−−他の箱から情報は一切もらえないのだから.」の二つがキモだよ

さて
１．命題Aの「確率は99/100」と
　　命題Bの「当てられっこない」とは
　　矛盾している(異なる確率が導かれる)
２．命題Aは、Peter Winkler氏との茶のみ話 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/17
　　命題Bは、普通の現代確率論にある話
　　例えば、確率論 I http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/02/pr-grad-all.pdf 原隆 九大 2002
　（あと、http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/higuchi/ 講義情報(Lectures) 樋口 保成 神戸大 http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/higuchi/3.pdf 第3 章 確率変数と確率分布 数理統計学 2014）
３．当然、命題Aと命題Bとで異なる結論が導かれるとき、疑うべきは、茶のみ話の命題Aであるべき。
　　だが、時枝先生は、命題Bを「まるまる無限族として独立」という”非数学用語”を用いて否定した。（>>281参照）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1499815260/312

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