現代数学の系譜古典ガロア理論を読む36 [無断転載禁止]©2ch.net

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202: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/07/15(土) 15:58:28.86 ID:uQKi2Au+

>>148
おっちゃん、どうも、スレ主です。

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”１）同値関係 ”を説明しよう

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82
数学において、同値関係（どうちかんけい、英: equivalence relation）は反射的、対称的かつ推移的な二項関係を言う。これらの性質の帰結として、与えられた集合において、一つの同値関係はその集合を同値類に分割（類別）する。

定義
ある集合 S において、二項関係 ? が次の性質を満たすとき、? は S 上の同値関係であるという。S の任意の元 a, b, c に対し、
反射律: a ? a.
対称律: a ? b ならば b ? a.
推移律: a ? b かつ b ? c ならば a ? c.
上の三つをまとめてしばしば同値律という[1]。? が同値関係であるとき、a ? b であることを、a と b は同値であると言う[1]。

・反射律： https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E5%B0%84%E9%96%A2%E4%BF%82 反射関係の例:「A は B と等しい」（等式） 、非反射関係の例:「A は B より大きい」
・対称律: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E9%96%A2%E4%BF%82 例 「（A は B と）結婚している」は対称関係だが、「（A は B より）小さい」は対称関係ではない。
・推移律: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A8%E7%A7%BB%E9%96%A2%E4%BF%82 例 「AはBと等しい」（等式）、「AはBより小さい」、「AはB以下である」（不等式）

同値関係のとき、反射律と対称律とはすぐ分かるときが多いので、推移律のみ確認する場合が多い
「推移律: a ? b かつ b ? c ならば a ? c」は、例えていえば、”仲間”みたいな関係だと思えば、そう外れていない
a と bが仲間で かつ b と cが仲間なら、 a と cが仲間だと
これから、「a ? b かつ b ? c にも関わらず、 a not? c」は排除される。なので、同値類の集合が一意に定まる
（∵ある同値類の集合をHとして、H={a,b,c・・}でd ∈Hなら、d ? a かつ d ? b かつ d ? c ・・・。
　逆に、d not∈Hなら、d not? a かつ d not? b かつ d not? c ・・・。例外はない。 ）

おっちゃん、分かる？

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1499815260/202

203: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/07/15(土) 16:00:59.26 ID:uQKi2Au+

>>148
おっちゃん、どうも、スレ主です。

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”２）商集合、代表（代表番号関連） ”を説明しよう

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%A1%9E
同値類
(抜粋)
フォーマルには，集合 S と S 上の同値関係 ? が与えられたとき，元 a の S における同値類は，a に同値な元全体の集合
{x∈ S ｜ x〜 a}
「同値関係」の定義から同値類は S の分割をなす．この分割，同値類たちの集合，を S の ? による商集合 (quotient set) あるいは商空間 (quotient space) と呼び，S/? と表記する．
記法と定義
元 a の同値類は [a] と書き，a と ? によって関係づけられる元全体の集合
[a]={x∈ X｜ a 〜 x}
として定義される．同値関係 R を明示して [a]R とも書かれる．これは a の R-同値類といわれる．
同値関係 R に関する X のすべての同値類からなる集合を X/R と書き，X の R による商集合 (quotient set of X by R, X modulo R) と呼ぶ[5]．X から X/R への各元をその同値類に写す全射 x→ [x] は標準射影と呼ばれる．
各同値類の元を（しばしば暗黙に）選ぶと，切断（英語版）と呼ばれる単射が定義される．この切断を s で表せば，各同値類 c に対して [s(c)] = c である．元 s(c) は c の代表元 (representative) と呼ばれる．切断を適切に取って類の任意の元をその類の代表元として選ぶことができる．
ある切断が他の切断よりも「自然」であることがある．この場合，代表元を標準（英語版）代表元と呼ぶ．例えば，合同算術において，整数上の同値関係で，a ? b を a ? b が法と呼ばれる与えられた整数 n の倍数であると定義したものを考える．
各類は n 未満の非負整数を唯一つ含み，これらの整数が標準的な代表元である．類とその代表元は多かれ少なかれ同一視され，例えば a mod n という表記は類を表すことも標準的な代表元（a を n で割った余り）を表すこともある．
(引用終り)

つづく

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