現代数学の系譜古典ガロア理論を読む36 [無断転載禁止]©2ch.net

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178: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/07/15(土) 11:07:17.87 ID:uQKi2Au+

>>177 つづき
ついでに
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E3%81%AB%E5%AE%9F%E3%81%AA%E4%BD%93
形式的に実な体
抽象代数学において体が形式的に実（けいしきてきにじつ、英: formally real）、または形式的実体（けいしきてきじつたい、英: formally real field）とは、?1 の平方根を持たず（さらに ?1 が平方元の和として表すことができない）、また平方元の和が零に等しいという関係式は自明な（つまり、その和に現れる全ての平方元がそれぞれ零に等しい、
例えば x2 + y2 = 0 ⇒ x = y = 0）場合に限られるなどの、実数体とも共通する性質を満たすことを言う。形式的実体を単に実体（じつたい[1]、英: real field[2]）と呼ぶこともある[注 1]。
与えられた体が形式的に実であることは、その体を（必ずしも一意的ではない方法によって）順序体にすることができるということを特徴づける性質である。

4 実閉体

形式的に実な真の代数拡大を持たない形式的実体は実閉体（英語版）と呼ばれる[8]。即ち、形式的実体 R が実閉 (real closed) であるとは、E が形式的実体 R の形式的実な代数拡大体ならば必ず E = R を満たすときに言う[9]。実閉体において任意の奇数次多項式は根を持ち[10]、任意の正元は何らかの元の平方根を成す[11]。
形式的実体 K に対し、K を含む代数閉体 Ω をとる。このとき、K を含む Ω の実閉な部分体が存在する。これを形式的実体 K の実閉包 (real closure) と呼ぶ。実閉体は一意的な順序によって順序体にすることができる[8]。
注釈
1^ 実数のことを単に "real(s)" と呼んだり、実数体 R 上の構造という意味で「実-」と言う接頭辞を用いることもあるが、実体を実数体 R (the filed of reals/the real field[3])と混同してはならない。
2^ この二つの代数的構造は（型の）異なる代数的構造である。実際、順序体は和と積のふたつの演算と全順序というひとつの関係を持つが、形式的実体は和と積の二つの演算を持つのみである。
(引用終り)

以上です

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1499815260/178

202: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/07/15(土) 15:58:28.86 ID:uQKi2Au+

>>148
おっちゃん、どうも、スレ主です。

戻る 過去スレ 35 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/624

”１）同値関係 ”を説明しよう

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82
数学において、同値関係（どうちかんけい、英: equivalence relation）は反射的、対称的かつ推移的な二項関係を言う。これらの性質の帰結として、与えられた集合において、一つの同値関係はその集合を同値類に分割（類別）する。

定義
ある集合 S において、二項関係 ? が次の性質を満たすとき、? は S 上の同値関係であるという。S の任意の元 a, b, c に対し、
反射律: a ? a.
対称律: a ? b ならば b ? a.
推移律: a ? b かつ b ? c ならば a ? c.
上の三つをまとめてしばしば同値律という[1]。? が同値関係であるとき、a ? b であることを、a と b は同値であると言う[1]。

・反射律： https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E5%B0%84%E9%96%A2%E4%BF%82 反射関係の例:「A は B と等しい」（等式） 、非反射関係の例:「A は B より大きい」
・対称律: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E9%96%A2%E4%BF%82 例 「（A は B と）結婚している」は対称関係だが、「（A は B より）小さい」は対称関係ではない。
・推移律: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A8%E7%A7%BB%E9%96%A2%E4%BF%82 例 「AはBと等しい」（等式）、「AはBより小さい」、「AはB以下である」（不等式）

同値関係のとき、反射律と対称律とはすぐ分かるときが多いので、推移律のみ確認する場合が多い
「推移律: a ? b かつ b ? c ならば a ? c」は、例えていえば、”仲間”みたいな関係だと思えば、そう外れていない
a と bが仲間で かつ b と cが仲間なら、 a と cが仲間だと
これから、「a ? b かつ b ? c にも関わらず、 a not? c」は排除される。なので、同値類の集合が一意に定まる
（∵ある同値類の集合をHとして、H={a,b,c・・}でd ∈Hなら、d ? a かつ d ? b かつ d ? c ・・・。
　逆に、d not∈Hなら、d not? a かつ d not? b かつ d not? c ・・・。例外はない。 ）

おっちゃん、分かる？

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1499815260/202

203: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/07/15(土) 16:00:59.26 ID:uQKi2Au+

>>148
おっちゃん、どうも、スレ主です。

戻る 過去スレ 35 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/624

”２）商集合、代表（代表番号関連） ”を説明しよう

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%A1%9E
同値類
(抜粋)
フォーマルには，集合 S と S 上の同値関係 ? が与えられたとき，元 a の S における同値類は，a に同値な元全体の集合
{x∈ S ｜ x〜 a}
「同値関係」の定義から同値類は S の分割をなす．この分割，同値類たちの集合，を S の ? による商集合 (quotient set) あるいは商空間 (quotient space) と呼び，S/? と表記する．
記法と定義
元 a の同値類は [a] と書き，a と ? によって関係づけられる元全体の集合
[a]={x∈ X｜ a 〜 x}
として定義される．同値関係 R を明示して [a]R とも書かれる．これは a の R-同値類といわれる．
同値関係 R に関する X のすべての同値類からなる集合を X/R と書き，X の R による商集合 (quotient set of X by R, X modulo R) と呼ぶ[5]．X から X/R への各元をその同値類に写す全射 x→ [x] は標準射影と呼ばれる．
各同値類の元を（しばしば暗黙に）選ぶと，切断（英語版）と呼ばれる単射が定義される．この切断を s で表せば，各同値類 c に対して [s(c)] = c である．元 s(c) は c の代表元 (representative) と呼ばれる．切断を適切に取って類の任意の元をその類の代表元として選ぶことができる．
ある切断が他の切断よりも「自然」であることがある．この場合，代表元を標準（英語版）代表元と呼ぶ．例えば，合同算術において，整数上の同値関係で，a ? b を a ? b が法と呼ばれる与えられた整数 n の倍数であると定義したものを考える．
各類は n 未満の非負整数を唯一つ含み，これらの整数が標準的な代表元である．類とその代表元は多かれ少なかれ同一視され，例えば a mod n という表記は類を表すことも標準的な代表元（a を n で割った余り）を表すこともある．
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1499815260/203

222: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/07/15(土) 22:29:42.03 ID:uQKi2Au+

>>20 戻る
追加資料
http://www.ailab.t.u-tokyo.ac.jp/horiKNC/representation_units/9
Title: 工学と理学の違い 堀　浩一　（東京大学） コメント返信より ２０１１
(抜粋)
高校生や大学教養課程の学生の皆さんの中には、工学部に進もうか理学部に進もうかと迷っていらっしゃる方も少なくないことでしょう。 （私自身は、小学生の頃からラジオや無線機を作ってはこわすのを楽しむ無線少年でしたので迷わず工学部に進学したのですが、）私の考える工学と理学の違いを書いてみましょう。ただし、あくまでも私見です。

工学と理学の最大の違いは、学問のめざすところの究極の目標の違いにあります。

ややおおげさな言い方になるかもしれませんが、工学の目標は人類の幸福、理学の目標は真理の探求です。

人工知能システムについての感想の中で、高機能の道具をどのように使っていくかを考えることが重要だ、と書きましたが、さらには、望ましくない使われ方、間違った使われ方が、そもそも不可能になるように設計することも、あわせて考えていく必要があります。

そういう意味では、工学の研究と法学の研究とは共通するところがあって、工学の先生と法学の先生とは、案外、気が合うのです。実際、人工知能の研究においても、法学の先生と工学の先生との共同研究が行われていたりします。逆に、同じ理科系でも、工学の研究者と理学の研究者では意外に気が合わなくて驚くことも少なくありません。

追記 ２０１４年２月２２日:
堀浩一： 人工知能研究の方法, 人工知能学会誌, Vol. 28, No. 5, pp. 689-694 (2013).
という解説記事の中では、「文明と文化」、「科学と技術」などという章をもうけて、かなり詳しく書かせていただきました。 残念ながらこの解説記事のcopyrightは人工知能学会が持っているのでこのサイトには載せておりませんが、ざっと次のようなことを書きました。

さらに追記 ２０１４年１０月１７日:
Theodore von Karmanの`Scientists study the world as it is; engineers create the world that has never been.’
http://www.facebook.com/IEEE.org/photos/a.176108879110422.62121.176104589110851/738965952824709/
ということばもいいですね。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1499815260/222

224: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/07/15(土) 23:01:47.54 ID:uQKi2Au+

>>221
￥さん、どうも。スレ主です。
￥さん、昔の言葉でいう「純粋な人」ですね

>コレは日本人が「大学を就職予備校と見做す」というのと全く同じ意味ですが。

確かに、就職を考えて、大学や学部を選ぶというのはありますね
「私と同世代ではおそらく抜きん出た数学者であるジャン＝ピエール・セールは、自分もある段階で数学を断念することを考えたと私に語った。」マイケル・アチャ>>135
ってありますからね。ジャン＝ピエール・セールでさえ、「おれ、数学でめし食っていけるのか（研究者としてやってけるか）？」ってことなんでしょうね（＾＾

あと、内在的動機付けと外在的動機付けと、みたいな話ですよね
内在的モチベーション（動機付け）：”何の利益や報酬がなくても、学ぶことを喜んでしようとすることである。”と下記に書かれていることですね。学ぶ→研究と置き換えれば・・
外在的モチベーション（動機付け）：名誉や利益などの報酬が与えられるとか
勿論、”内在的モチベーション（動機付け）”が良いのですが・・（＾＾
http://tsuchy1493.seesaa.net/article/394055596.html
2005年10月07日 外在的モチベーションと内在的モチベーション Good News Collection
(抜粋)
人が行動するときのモチベーション（動機付け）として２種類あるだろう。
外在的モチベーションと内在的モチベーションとがそれである。

外在的モチベーション（動機付け）とは、それをすると誉められるとか、名誉や利益などの報酬が与えられるとか、いうのがそれである。
内在的モチベーション（動機付け）とは、それをすること自体が楽しいとかおもしろいとかいうことで御ｓれをするケースである。それをしないではいられないような内から突き上げてくる動機付けである。

なぜ勉強をするのかという学習の動機付けの場合、外在的な動機付けは、よい点を取りたいとかよい大学に入りたいとか、勉強をして誉められたいとか尊敬されたいというのがこれである。
内在的動機付けは、勉強すること自体を楽しみとできるようなことであろう。好奇心や知的欲求、問題意識そのものに応えて学習するというのは、この内在的モチベーションに応えて学ぶことである。何の利益や報酬がなくても、学ぶことを喜んでしようとすることである。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1499815260/224

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