[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む36 [無断転載禁止]©2ch.net (679ﾚｽ)
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165(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)06:11 ID:uQKi2Au+(1/27)調 AAS
>>157
ID:WlcB2qq8さん、どうも、スレ主です。レスありがとう
ID:WlcB2qq8さん、なかなか力あるね。
調べてみると、過去スレ6で、不完全性定理が登場しているね。過去スレ 8で下記のような話を紹介している。あと、なんどか登場しているね
”パリスとハーリントン”の話は、このスレで話題にしたことは無かったが、wikipediaにあったね（下記）。
どこかで似たようなことを読んだ気がしたが、思い出せなかった・・（＾＾
過去スレ 8 2chｽﾚ:math 2013/03/31(日) (抜粋)
1930年9月7日にケーニヒスベルクで開催されていた「厳密科学における認識論」についての第2回会議においてクルト・ゲーデルが第一不完全性定理を発表すると、発表の後にノイマンはゲーデルと個人的に会話を行い、定理の内容を直ちに理解した。
その会議の後、ゲーデルは第二不完全性定理を得て論文にまとめ、論文は11月17日に受理された。いっぽう、ノイマンは独力で第二不完全性定理を導き、その結果を11月20日付けの手紙でゲーデルに知らせた。
過去スレ 8 2chｽﾚ:math 2013/04/06(土) (抜粋)
http://d.hatena.ne.jp/keyword/%C9%D4%B4%B0%C1%B4%C0%AD%C4%EA%CD%FD
ゲーデルの不完全性定理（Godel's Theorem）
簡単に言えば、「完全で無矛盾な公理系は存在しない」ということを証明した*1。
数学基礎論の分野で提出された定理だが、その影響は数学はもとより、論理学や哲学やその他の人間の知（理性）の全分野にも及ぶものであり、フォン・ノイマンをして「（その業績は）不滅以上のものである」と言わしめた。
(引用終り)
つづく
166(2): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)06:12 ID:uQKi2Au+(2/27)調 AAS
>>165 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲーデルの不完全性定理
(抜粋)
決定不能命題の例
本節では一つ目の意味で「決定不能」と書く。
決定不能ということが意味するのは、あくまで使用されている特定の形式的体系の下ではその命題の真偽をいずれも証明できないということにすぎない。
真理値を決して知ることができないか、または真理値の定義自体が無効となるような、いわゆる「絶対的決定不能」命題が存在するのかどうかは数理哲学における論争の的となっている。
連続体仮説はZFC（集合論における標準的な公理系）の下では証明も否定の証明もできない。また、選択公理もZF（ZFCに含まれる公理から選択公理を除いたもの）では証明も否定の証明もできない。
1940年、ゲーデルはこれらの命題が何れも ZF または ZFC 集合論では否定を証明できないことを証明した。1960年代、コーエンはこれらがいずれも ZF から証明できず、また連続体仮説が ZFC から証明できないことを証明した。
マチャセビッチによるヒルベルトの第10問題によって決定不能な命題の例が得られる。そのような例はディオファントス方程式の外側に存在量化子を幾つか並べた形として得られる。すなわち不完全性定理の前提条件を満たす形式的体系において、解の存在が証明も反証もできないようなディオファントス方程式が存在する。
1973年、群論におけるホワイトヘッドの問題（英語版）が標準的な集合論では決定不能であることが示された。
つづく
167: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)06:13 ID:uQKi2Au+(3/27)調 AAS
>>166 つづき
1977年、パリスとハーリントンは、ラムゼーの定理の一種であるパリス・ハーリントンの定理（英語版）が、一階算術の公理体系であるペアノ算術の下では決定不能だが、より大きな二階算術の体系では真であることを証明できることを証明した。
カービーとパリスは後にグッドスタインの定理（自然数の数列に関する命題であり、パリス・ハーリントンの原理よりもいくらか易しい）がペアノ算術では決定不能であることを示した。
計算機科学で応用される Kruskal の木定理（英語版）はペアノ算術では決定不能だが集合論では証明できる。実際、Kruskalの木定理（またはその有限版）は、可述主義（英語版）[4]と呼ばれる数学的哲学に基づいて構築されたもっと強い体系の下でも決定不能である。
これに関連し、更に一般的な graph minors 定理（英語版）（2003年）は計算複雑性理論に影響する。
グレゴリー・チャイティンはアルゴリズム情報理論における決定不能命題を発見し、その状況下で新たな不完全性定理を得た。
チャイティンの定理によると、十分な算術を表現可能ないかなる理論においても、どのような数であっても c よりも大きなコルモゴロフ複雑性を有することがその理論上では証明できないような、上限 c が存在する。
ゲーデルの定理が嘘つきのパラドックスと関係しているのに対し、チャイティンの結果はベリーのパラドックスに関係している。
つづく
168(2): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)06:14 ID:uQKi2Au+(4/27)調 AAS
>> つづき
不完全性定理の成立しない体系
不完全性定理は「『自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、無矛盾（ω無矛盾）であれば』〜」という形の定理である。したがって、自然数論を含まない公理系や、帰納的公理化可能でない理論が完全であっても、不完全性定理とは矛盾しない。
真の算術やペアノ算術の無矛盾完全拡大などは無矛盾かつ完全であるが、帰納的公理化可能でない。とくに真の算術は算術的に定義不能である。この結果はタルスキの真理定義不可能性として知られる。
プレスバーガー算術は帰納的公理化可能、無矛盾かつ完全である。プレスバーガー算術は加法しか含まない公理系であり、ゲーデル数によるコード化のテクニックを扱えない。そのため、不完全性定理は適用できない。
また、実閉体の理論やユークリッド幾何学も完全であり、（直観に反して）算術を含まないため、不完全性定理は適用できない。したがって実閉体の理論は決定可能である。もっと精密にいうと実閉体の理論では量化記号消去が可能である。この事実は数式処理系の実装などに応用されている。
なお、群や環の公理などは、「自然数論を含まない帰納的公理化可能かつ無矛盾な公理系」であり、不完全性定理は適用できないが、不完全である。例えば、可換群と非可換群がともに存在することから、健全性定理より、群の公理からは積の可換性は証明も反証もできない。
(引用終り)
以上です
174(4): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)10:32 ID:uQKi2Au+(5/27)調 AAS
>>169-173
ID:OkksdbBEさん、どうも。スレ主です。
貴方は、なかなか力あるね〜
このスレで、数学的な内容のカキコをする人は、ごく小数でね（＾＾
常連では、おっちゃんと￥さんくらいでね
その他の人は、からっきしダメ（＾＾
まあ、実力が無いんだろうね（実力を見透かされないようにしているんだろうね）（＾＾
そもそも、自分の主張に理由が無い発言が多い
多分￥さんから言わせると、「フランスでは考えられない！」だろうと。数学板なのに、自分の主張に（数学の）理由が無いとね〜（＾＾
理系としては、「自分の主張を論理的に説明できない日本人ってね〜。まあ、文系だろう」と、出来るだけスルーだ（＾＾
そういう意味で、こういうことをすらすら書ける貴方の数学の実力は凄いね〜（＾＾
つづく
175(2): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)10:35 ID:uQKi2Au+(6/27)調 AAS
>>174 つづき
で、細かいが
>>169
>コンセヴィッチとザギエの周期の話なら、もともとは
これは、齋藤恭司先生としては、コンセヴィッチとザギエの周期と同じ意味だろうね
記憶では、コンセヴィッチとザギエの周期論文を吉永先生に紹介したのが齋藤恭司先生だと（院生時代）、吉永先生がどこかに書いていたと思った
あと、下記、齋藤恭司先生 2011 年度幾何学賞授賞業績説明
http://mathsoc.jp/publication/tushin/1603/2011KikagakuPrize.pdf
(抜粋)
授賞題目： 周期積分の理論の現代化の実現
彼の原動力は一貫して，18~19 世紀のオイラー，アーベル，ヤコビらによる
楕円積分・周期積分の理論を現代によみがえらせようという壮大な構想で，その実現のため
・・・などの理論を次々に建設しました．これは後にKontsevich などによる非可換ホッジ構
造や，Dubrobvin などによる量子コホモロジー等の研究に用いられているフロベニウス多様
体を先取りしたものであり
(引用終り)
>>170 その通り
>>171 実閉体の定義は良く知らないんだが、検索すると、過去スレで下記があったね （実閉体の定義は後で確認しておく（＾＾）
過去スレ 21 2chｽﾚ:math 2016/07/31
http://fuchino.ddo.jp/misc/susemi2012-01x.pdf
想定外の数学− 不完全性定理以降の数学(続)
神戸大学大学院・システム情報学研究科渕野昌(Sakae Fuchino)
つづく
176: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)10:37 ID:uQKi2Au+(7/27)調 AAS
>>175 つづき
(抜粋)（当時は引用していなかったが）
P8 無矛盾で完全であることが有限の立場から証明できる体系のうち，重要なもの
の1 つに，実閉体の理論をあげることができる．この理論の無矛盾性と完全性の重
要性の理由の1 つは，うまく定式化すると，初等的な幾何学の理論が，この理論と
双方向に解釈できるようになるからである| たとえばタルスキーの[7] を参照さ
れたい．したがって，このタルスキーの定式化したような初等幾何は，無矛盾で完
全でしたがって決定可能ですらある．
(16)もっとも，後に[6] でヒルベルトとベルナイスは，[6] で，代数閉体の理論の無矛盾性，完全性
の完全に有限な立場からの証明を与えている．
(引用終り)
>>172 "吉永 良正のブルーバックスの本は酷い出来なので"は、違うね。ハードカバーの本だった
>>173 "「中学校で”√２の無理数性”の背理法による証明を習った」"は、あったような気がする。
中学の数学教師が、中三で3x3マトリックスとクラメールの公式を教えてくれたよ。もちろん、授業外だが。合同式（≡）もあったような（＾＾
以上
177(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)11:04 ID:uQKi2Au+(8/27)調 AAS
>>175 補足
>実閉体の定義
まあ、下記でも
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1764-01.pdf
実閉体の生い立ち 名古屋大学多元数理科学研究科 塩田昌弘 数理解析研究所講究録 第1764 巻2011 年
(抜粋)
1. 序文
実閉体の概念はEArtin が1927 年にHilbert の第17 問題を解くために導入した
ものである。その後1980 年代から実閉体上で代数幾何を考えるという、実代数幾何
学が盛んに研究されるようになった。
Artin による第1 7 問題の証明は日本語では[2] に書かれていて、読むのに代数の基
本的知識をいくつか必要とするだけである。
実代数幾何学では、その証明を少し代えたものが、代表的な基本的なーつの証明方法になっている。ここではその証明
を紹介する。
その証明方法を日本語で、しかも実代数幾何学の言葉をできるだけ使わずに紹介するのは意味のあることだと思う。それで、
この論文を書くことにした。
一言でその証明方法を語れば、ある体でconstructive に記述された問題で、解けるか
どうか分からないとき、問題の形をそのままにして、体のみを変換することである。例
として$R$ を体として、問題∃ x∈ R, x^2=2 を考える．この問題はR=R~ では解けて、
R=Q では解けない。これでは困るが、体が実閉体ならうまくいく。もしR で解ける
かどうか分からない問題のとき、解けるようにR を大きな体R_に置き換える。次に説
明するArtin-Lang の定理によればR もR_も実閉体なら、もしR_で解ければR で必ず
解ける。これが説明したい証明方法である。
2. 定義と例とその基本的な性質
[2] 永田雅宜、可換体論、裳華房、1967.
(引用終り)
余談だが、永田雅宜先生の本は、難解で有名とか。読んだことはないが（＾＾
つづく
178: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)11:07 ID:uQKi2Au+(9/27)調 AAS
>>177 つづき
ついでに
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E3%81%AB%E5%AE%9F%E3%81%AA%E4%BD%93
形式的に実な体
抽象代数学において体が形式的に実（けいしきてきにじつ、英: formally real）、または形式的実体（けいしきてきじつたい、英: formally real field）とは、?1 の平方根を持たず（さらに ?1 が平方元の和として表すことができない）、また平方元の和が零に等しいという関係式は自明な（つまり、その和に現れる全ての平方元がそれぞれ零に等しい、
例えば x2 + y2 = 0 ⇒ x = y = 0）場合に限られるなどの、実数体とも共通する性質を満たすことを言う。形式的実体を単に実体（じつたい[1]、英: real field[2]）と呼ぶこともある[注 1]。
与えられた体が形式的に実であることは、その体を（必ずしも一意的ではない方法によって）順序体にすることができるということを特徴づける性質である。
4 実閉体
形式的に実な真の代数拡大を持たない形式的実体は実閉体（英語版）と呼ばれる[8]。即ち、形式的実体 R が実閉 (real closed) であるとは、E が形式的実体 R の形式的実な代数拡大体ならば必ず E = R を満たすときに言う[9]。実閉体において任意の奇数次多項式は根を持ち[10]、任意の正元は何らかの元の平方根を成す[11]。
形式的実体 K に対し、K を含む代数閉体 Ω をとる。このとき、K を含む Ω の実閉な部分体が存在する。これを形式的実体 K の実閉包 (real closure) と呼ぶ。実閉体は一意的な順序によって順序体にすることができる[8]。
注釈
1^ 実数のことを単に "real(s)" と呼んだり、実数体 R 上の構造という意味で「実-」と言う接頭辞を用いることもあるが、実体を実数体 R (the filed of reals/the real field[3])と混同してはならない。
2^ この二つの代数的構造は（型の）異なる代数的構造である。実際、順序体は和と積のふたつの演算と全順序というひとつの関係を持つが、形式的実体は和と積の二つの演算を持つのみである。
(引用終り)
以上です
179(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)11:15 ID:uQKi2Au+(10/27)調 AAS
>>168 補足
”実閉体の理論は決定可能である”とか
”群や環の公理などは、「自然数論を含まない帰納的公理化可能かつ無矛盾な公理系」であり、不完全性定理は適用できないが、不完全である”とか（＾＾
覚えておこう（＾＾
>>168より”不完全性定理の成立しない体系
また、実閉体の理論やユークリッド幾何学も完全であり、（直観に反して）算術を含まないため、不完全性定理は適用できない。
したがって実閉体の理論は決定可能である。もっと精密にいうと実閉体の理論では量化記号消去が可能である。この事実は数式処理系の実装などに応用されている。
なお、群や環の公理などは、「自然数論を含まない帰納的公理化可能かつ無矛盾な公理系」であり、不完全性定理は適用できないが、不完全である。
例えば、可換群と非可換群がともに存在することから、健全性定理より、群の公理からは積の可換性は証明も反証もできない。”
(引用終り)
180: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)12:43 ID:uQKi2Au+(11/27)調 AAS
sage
181(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)12:43 ID:uQKi2Au+(12/27)調 AAS
>>166 補足
下記補足「本講義では、当分野における古典的な成果であるゲーデルの不完全性定理とその周辺について概説する。それが示唆するのは数学の本質的な限界であると同時に開かれた可能性であり、確固たる土台の非存在であると同時に諸理論が織りなす空間の豊饒さである。」
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/kouza/
数学入門公開講座 京都大学 数理解析研究所
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/terui.pdf
『数学』を数学的に考える 照井 一成 2009年7月30日
(抜粋)
数学にはいったい何ができて何ができないのだろうか。その可能性と限界を知りたい。そのために数学者の行う活動（定理を証明したり、反例を考案したり）を数学的に分析するのがメタ数学、ないしは数学基礎論と呼ばれる分野である。
本講義では、当分野における古典的な成果であるゲーデルの不完全性定理とその周辺について概説する。それが示唆するのは数学の本質的な限界であると同時に開かれた可能性であり、確固たる土台の非存在であると同時に諸理論が織りなす空間の豊饒さである。
方針としては算術階層に重点をおき、不完全性やさまざまな決定不能問題をその中に位置づけていく形で、統一的な解説を行う予定である。
つづく
182: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)12:44 ID:uQKi2Au+(13/27)調 AAS
>>181 つづき
12 おわりに
本稿においては、メタ数学における否定的成果（真理述語の定義不能性、算術や一階述
語論理の決定不能性、第一不完全性など）に対して統一的説明を与えることを試みた。方
針としては、まず算術階層の概念を導入し、対角線論法を用いてその厳密性を示し、その
上で上記の否定的成果をそこに帰着させる、という道筋をとった。この方針により、それ
ぞれの否定的成果が成り立つことは以下のように説明される：
1.算術の論理式に関する真理述語が算術の論理式で定義可能であるとすると、算術階
層の全体があるΣnへと崩壊してしまう（定理16、真理述語の定義不能性）
2.Qより強力かつ自然な理論Tをとると、証明可能性述語|-Tは、Σ1論理式に関する
真理述語を定義しているものと見なすことができる（定理24、Σ1表現可能性）。ゆ
えにもしも`Tが決定可能、すなわちΔ1だとすると、Σ1がΔ1へと崩壊してしま
う（定理25、算術の決定不能性）
3.証明可能性述語|-Tは、Σ1論理式で定義可能である（定理27）。もしも|-TがΠ1完
全であるとすると、|-Tは、Π1論理式に関する真理述語を定義することになり、Π1
がΣ1へと崩壊してしまう（定理28、Π1不完全性）。
よって全ては算術階層の厳密性に起因するものと見なすことができる（第二不完全性を除
く）。このように算術階層を機軸に据えることにより、メタ数学における様々な成果の関
係について、よりよい見通しが得られる。
(引用終り)
以上
187(2): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)13:53 ID:uQKi2Au+(14/27)調 AAS
>>186
それだけ力がありながら、時枝記事がガセと気付かないのか？（＾＾
まあ、後でやろう（＾＾
188(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)13:55 ID:uQKi2Au+(15/27)調 AAS
>>183
いまどきの数学は、ある程度知識がないとだめだろうね（＾＾
そう思わないか？（＾＾
202(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)15:58 ID:uQKi2Au+(16/27)調 AAS
>>148
おっちゃん、どうも、スレ主です。
戻る 過去スレ 35 2chｽﾚ:math
”１）同値関係 ”を説明しよう
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82
数学において、同値関係（どうちかんけい、英: equivalence relation）は反射的、対称的かつ推移的な二項関係を言う。これらの性質の帰結として、与えられた集合において、一つの同値関係はその集合を同値類に分割（類別）する。
定義
ある集合 S において、二項関係 ? が次の性質を満たすとき、? は S 上の同値関係であるという。S の任意の元 a, b, c に対し、
反射律: a ? a.
対称律: a ? b ならば b ? a.
推移律: a ? b かつ b ? c ならば a ? c.
上の三つをまとめてしばしば同値律という[1]。? が同値関係であるとき、a ? b であることを、a と b は同値であると言う[1]。
・反射律： https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E5%B0%84%E9%96%A2%E4%BF%82 反射関係の例:「A は B と等しい」（等式） 、非反射関係の例:「A は B より大きい」
・対称律: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E9%96%A2%E4%BF%82 例 「（A は B と）結婚している」は対称関係だが、「（A は B より）小さい」は対称関係ではない。
・推移律: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A8%E7%A7%BB%E9%96%A2%E4%BF%82 例 「AはBと等しい」（等式）、「AはBより小さい」、「AはB以下である」（不等式）
同値関係のとき、反射律と対称律とはすぐ分かるときが多いので、推移律のみ確認する場合が多い
「推移律: a ? b かつ b ? c ならば a ? c」は、例えていえば、”仲間”みたいな関係だと思えば、そう外れていない
a と bが仲間で かつ b と cが仲間なら、 a と cが仲間だと
これから、「a ? b かつ b ? c にも関わらず、 a not? c」は排除される。なので、同値類の集合が一意に定まる
（∵ある同値類の集合をHとして、H={a,b,c・・}でd ∈Hなら、d ? a かつ d ? b かつ d ? c ・・・。
逆に、d not∈Hなら、d not? a かつ d not? b かつ d not? c ・・・。例外はない。 ）
おっちゃん、分かる？
203(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)16:00 ID:uQKi2Au+(17/27)調 AAS
>>148
おっちゃん、どうも、スレ主です。
戻る 過去スレ 35 2chｽﾚ:math
”２）商集合、代表（代表番号関連） ”を説明しよう
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%A1%9E
同値類
(抜粋)
フォーマルには，集合 S と S 上の同値関係 ? が与えられたとき，元 a の S における同値類は，a に同値な元全体の集合
{x∈ S ｜ x〜 a}
「同値関係」の定義から同値類は S の分割をなす．この分割，同値類たちの集合，を S の ? による商集合 (quotient set) あるいは商空間 (quotient space) と呼び，S/? と表記する．
記法と定義
元 a の同値類は [a] と書き，a と ? によって関係づけられる元全体の集合
[a]={x∈ X｜ a 〜 x}
として定義される．同値関係 R を明示して [a]R とも書かれる．これは a の R-同値類といわれる．
同値関係 R に関する X のすべての同値類からなる集合を X/R と書き，X の R による商集合 (quotient set of X by R, X modulo R) と呼ぶ[5]．X から X/R への各元をその同値類に写す全射 x→ [x] は標準射影と呼ばれる．
各同値類の元を（しばしば暗黙に）選ぶと，切断（英語版）と呼ばれる単射が定義される．この切断を s で表せば，各同値類 c に対して [s(c)] = c である．元 s(c) は c の代表元 (representative) と呼ばれる．切断を適切に取って類の任意の元をその類の代表元として選ぶことができる．
ある切断が他の切断よりも「自然」であることがある．この場合，代表元を標準（英語版）代表元と呼ぶ．例えば，合同算術において，整数上の同値関係で，a ? b を a ? b が法と呼ばれる与えられた整数 n の倍数であると定義したものを考える．
各類は n 未満の非負整数を唯一つ含み，これらの整数が標準的な代表元である．類とその代表元は多かれ少なかれ同一視され，例えば a mod n という表記は類を表すことも標準的な代表元（a を n で割った余り）を表すこともある．
(引用終り)
つづく
204(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)16:01 ID:uQKi2Au+(18/27)調 AAS
>>203 つづき
補足
１）時枝記事の可算無限数列のしっぽの同値類では、”標準代表元”は決められない。だから、代表元の選び方は、任意だ。
参考： https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82 同値関係
”S の相異なる同値類からはひとつずつ、全部の同値類から代表元を取り出して作った S の部分集合を、集合 S における同値関係 ? の（あるいは商集合 S/? の）完全代表系 (complete system of representatives) と呼ぶ。”
２）時枝記事の実数列の集合 R^Nをベクトル空間と考えて、あるしっぽの同値類をUとして、m+1番目から先が一致するとして＊）
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈U で
二つのベクトルの差Δｓ＝s−ｓ’＝（s1-s'1，s2-s'2，s3-s'3 ，・・,sm-s'm，0,0,・・）となる。つまり、差を取れば、m+1番目から先は0。
注＊）記述を簡素にするため。m番目から先が一致とすると「s(m-1)-s'(m-1)」の表記になり、添え字がみにくくなるため。
おっちゃん、分かる？
205(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)16:02 ID:uQKi2Au+(19/27)調 AAS
>>148
おっちゃん、どうも、スレ主です。
戻る 過去スレ 35 2chｽﾚ:math
"３）極限 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90"
＜コメントしておく＞
１．極限は常に考えられる
２．が、極限を考える基礎式で、複数のパターンが考えられ、異なる値になることが、ある
３．分かりやすい例が、下記コーシー分布の”コーシー分布には期待値（平均）は存在しない”の場合だ
R1とR2とが、極限→∞となるとき、比 R1/R2の値次第で極限値が変わる。（正規分布では減衰が早いので、こうはならなず、一通りに決まる）
４．まとめると、「極限が取れる場合と取れない場合がある」と間違って理解している人がいるが、
正しくは、「極限は常に考えられるが、発散や振動する場合もあり、二重極限の場合はさらに、値が定まらない場合もある」ということ
おっちゃん、どうですか？
つづく
207: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)16:03 ID:uQKi2Au+(20/27)調 AAS
>>205 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%86%E5%B8%83
コーシー分布
(抜粋)
期待値が定義されない理由
確率分布が確率密度関数f(x)を持つ場合、その期待値は以下のように与えられる。
∫{-∞〜∞}xf(x)dx＝∫{-∞〜∞}x/(π(1+x^2)) dx ＝[1/(2π）log(1+x^2)] {-∞〜∞}
＝lim R1,R2→∞ 1/(2π)(log(1+(R1)^2)-log(1+(R2)^2)
＝lim R1,R2→∞ 1/(2π)(log(1+(R1)^2)/(1+(R2)^2)
（URLの原文を見る方が分かりやすいが）（＾＾
となるが、この極限はどのような値でも取り、
R1=R2の関係を保って無限大になるときは0に、
R1=2*R2の関係を保って無限大になるときは (log(1/4))/(2π)に
なるなど、2重極限のとしての収束値は存在しない。
このため、期待値は存在しない。
(引用終わり)
208: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)16:05 ID:uQKi2Au+(21/27)調 AAS
>>206
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>私もやるべきことがあるし、スレ主に付き合うと厄介なことになりかねず、
>時間のムダになるから，スレ主には付き合わない。
それは残念だね
が、一つの選択肢として理解できる
まあ、お好みの話題に参加しておくれ
209(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)16:10 ID:uQKi2Au+(22/27)調 AAS
>>187-188
>それだけ力がありながら、時枝記事がガセと気付かないのか？（＾＾
>いまどきの数学は、ある程度知識がないとだめだろうね（＾＾
まあ、数学基礎論はそこそこ知識がありそうだが
大学レベルの確率論が薄いな〜（＾＾
211(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)16:26 ID:uQKi2Au+(23/27)調 AAS
>>191
コテハンがないから、人違いならスマン
「不遇な」と同様、時枝記事が成立するなんて、”気のせい”だろ（＾＾
”今やるぞ”か
おれは、あまのじゃくでね
人から指図されるのが嫌いなんだ。￥さんと似ているのかもね〜（＾＾
どうぞとしか、いえんがね。ご勝手に、どうぞ（＾＾
その内、時枝もやるよ
>>9の通りだ。”時々、（時枝”だよ（＾＾
218(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)21:19 ID:uQKi2Au+(24/27)調 AAS
>>137
￥さん、どうも。スレ主です。
「独創を阻むもの 哲学不在と没個性 永田 親義著 1994/12」きました（＾＾
>いや辛かったのは・・、そしてまあ筑波時代ですかね。
>云わば「アレもダメ、コレもダメ、ソレもダメ」みたいな、所謂「飼い犬状態」でした。
ああ、第七章 日本になぜ独創的研究が少ないか 独創を阻む制度 にある通りですね
講座制で、「奴隷のように扱われる日本の若い研究者」（P183）の通りか
まあ、想像できます
でも、ノーベル賞の福井博士の講座の児玉信次郎教授の例のように（P185）、ボスの性格にもよるんですよね
いまは、インターネットなどもあり、ポストも公募が多いと聞きますが
当時は、閉鎖的で、ボス同士のコネで、ポストが決まるというような話もありましたね〜
なかなか考えさせる本ですね
追伸
私が、”時枝記事ガセ”で頑張っているのも、日本の風土だと、先生方は、「波風立てたくないから」と、表だって”時枝記事ガセ”と言わないんだ
分かっているのに、表では言わないんだ。もちろん、個別に聞けば、「当然あんなもの成り立つはずない！」というんでしょうけどね（＾＾
表だっては、誰も本当のことを言わない。それは、良くないだろうと。まあ、敵は多いほど面白いし・・（＾＾
222(2): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)22:29 ID:uQKi2Au+(25/27)調 AAS
>>20 戻る
追加資料
http://www.ailab.t.u-tokyo.ac.jp/horiKNC/representation_units/9
Title: 工学と理学の違い 堀 浩一 （東京大学） コメント返信より ２０１１
(抜粋)
高校生や大学教養課程の学生の皆さんの中には、工学部に進もうか理学部に進もうかと迷っていらっしゃる方も少なくないことでしょう。 （私自身は、小学生の頃からラジオや無線機を作ってはこわすのを楽しむ無線少年でしたので迷わず工学部に進学したのですが、）私の考える工学と理学の違いを書いてみましょう。ただし、あくまでも私見です。
工学と理学の最大の違いは、学問のめざすところの究極の目標の違いにあります。
ややおおげさな言い方になるかもしれませんが、工学の目標は人類の幸福、理学の目標は真理の探求です。
人工知能システムについての感想の中で、高機能の道具をどのように使っていくかを考えることが重要だ、と書きましたが、さらには、望ましくない使われ方、間違った使われ方が、そもそも不可能になるように設計することも、あわせて考えていく必要があります。
そういう意味では、工学の研究と法学の研究とは共通するところがあって、工学の先生と法学の先生とは、案外、気が合うのです。実際、人工知能の研究においても、法学の先生と工学の先生との共同研究が行われていたりします。逆に、同じ理科系でも、工学の研究者と理学の研究者では意外に気が合わなくて驚くことも少なくありません。
追記 ２０１４年２月２２日:
堀浩一： 人工知能研究の方法, 人工知能学会誌, Vol. 28, No. 5, pp. 689-694 (2013).
という解説記事の中では、「文明と文化」、「科学と技術」などという章をもうけて、かなり詳しく書かせていただきました。 残念ながらこの解説記事のcopyrightは人工知能学会が持っているのでこのサイトには載せておりませんが、ざっと次のようなことを書きました。
さらに追記 ２０１４年１０月１７日:
Theodore von Karmanの`Scientists study the world as it is; engineers create the world that has never been.’
http://www.facebook.com/IEEE.org/photos/a.176108879110422.62121.176104589110851/738965952824709/
ということばもいいですね。
つづく
223: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)22:31 ID:uQKi2Au+(26/27)調 AAS
>>222 つづき
https://jsai.ixsq.nii.ac.jp/ej/?action=repository_uri&item_id=8415&file_id=22&file_no=1
PDF 人工知能研究の方法(<特集>一人称研究の勧め) 堀 浩一 人工知能学会誌/Journal of Japanese Society for Artificial Intelligence,28(5),689-694 (2013-09-01) , KJ00008829034
＜参考＞
http://www.ai-gakkai.or.jp/vol28_no5/
ホーム ≫ 学会誌 ≫ 人工知能学会誌 Vol. 28 No. 5 (2013 年9月)
抜粋
特集：「一人称研究の勧め」
特集「一人称研究の勧め」にあたって …………………………………………………………… 諏訪 正樹・堀 浩一 688
PDF https://jsai.ixsq.nii.ac.jp/ej/?action=repository_uri&item_id=8414&file_id=22&file_no=1
人工知能研究の方法 ………………………………………………………………………………………………… 堀 浩一 689
PDF https://jsai.ixsq.nii.ac.jp/ej/?action=repository_uri&item_id=8415&file_id=22&file_no=1
（他資料含め全PDFが下記のAI書庫（アイショコ）サイトにある）
https://jsai.ixsq.nii.ac.jp/ej/index.php?active_action=repository_view_main_item_snippet&page_id=13&block_id=23&index_id=445&pn=1&count=75&order=7&lang=japanese
AI書庫（アイショコ）
(引用終り)
以上です
224(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/15(土)23:01 ID:uQKi2Au+(27/27)調 AAS
>>221
￥さん、どうも。スレ主です。
￥さん、昔の言葉でいう「純粋な人」ですね
>コレは日本人が「大学を就職予備校と見做す」というのと全く同じ意味ですが。
確かに、就職を考えて、大学や学部を選ぶというのはありますね
「私と同世代ではおそらく抜きん出た数学者であるジャン＝ピエール・セールは、自分もある段階で数学を断念することを考えたと私に語った。」マイケル・アチャ>>135
ってありますからね。ジャン＝ピエール・セールでさえ、「おれ、数学でめし食っていけるのか（研究者としてやってけるか）？」ってことなんでしょうね（＾＾
あと、内在的動機付けと外在的動機付けと、みたいな話ですよね
内在的モチベーション（動機付け）：”何の利益や報酬がなくても、学ぶことを喜んでしようとすることである。”と下記に書かれていることですね。学ぶ→研究と置き換えれば・・
外在的モチベーション（動機付け）：名誉や利益などの報酬が与えられるとか
勿論、”内在的モチベーション（動機付け）”が良いのですが・・（＾＾
http://tsuchy1493.seesaa.net/article/394055596.html
2005年10月07日 外在的モチベーションと内在的モチベーション Good News Collection
(抜粋)
人が行動するときのモチベーション（動機付け）として２種類あるだろう。
外在的モチベーションと内在的モチベーションとがそれである。
外在的モチベーション（動機付け）とは、それをすると誉められるとか、名誉や利益などの報酬が与えられるとか、いうのがそれである。
内在的モチベーション（動機付け）とは、それをすること自体が楽しいとかおもしろいとかいうことで御ｓれをするケースである。それをしないではいられないような内から突き上げてくる動機付けである。
なぜ勉強をするのかという学習の動機付けの場合、外在的な動機付けは、よい点を取りたいとかよい大学に入りたいとか、勉強をして誉められたいとか尊敬されたいというのがこれである。
内在的動機付けは、勉強すること自体を楽しみとできるようなことであろう。好奇心や知的欲求、問題意識そのものに応えて学習するというのは、この内在的モチベーションに応えて学ぶことである。何の利益や報酬がなくても、学ぶことを喜んでしようとすることである。
(引用終り)
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