[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む35 [無断転載禁止]©2ch.net (667ﾚｽ)
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430(1): ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/05(水)17:00 ID:EqTnonCD(1/5)調 AAS
この問題を正確に申し述べるのは（私には）極めて困難ですが、まあ概ねは：
１．Ωの可測部分集合というだけであれば、かなり無茶苦茶なものが取れる。
２．任意の自己共役作用素というのは無理である。（超選択則という話。）
です。ちょっと話を分けます。
第一点：古典確率論とでも言うべきか：
例えば気体分子運動論ではΩは物理の位相空間（Phase space）として無茶な空間を考え
て理論展開しますが、ここで「どんな実数値函数でも物理量である」とすれば、例えば
『エルゴード定理を証明する』というのは、厳密にはアウトですよね。田崎晴明さんを
始め、何人もの物理学者がこの問題を指摘してるのは半年ほど前に知りました。私の印
象ではBrown運動を基礎に据えた方が、まだマシではないかと。（この先は未だちゃん
と考えてませんが。）そもそも相互作用をしない筈の理想気体では、エネルギー交換は
しないから、従って理論全体はConsistentではないかと。
尤も普通の物理の人はソコまで厳密には考えないだろうから、従って「気体分子運動論
とBrown運動とは概ねは同一視してる」みたいな。（例えばジャン・ペランの本とか。）
まあ何れにしても『測度空間をそのままマトモに使う』というのは、何か無理をしてる
印象がどうしてもします。コレは作用素環だとvon Neumann環ですが。
（続きます）
453(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/06(木)08:13 ID:qgJA+Zd6(1/32)調 AAS
>>430-431
￥さん、どうも。スレ主です。
￥さんの話は、レベルが高すぎて、ついて行くのが大変ですね（＾＾
普通の数学屋さんとは、おそらく会話が成り立たないかな〜（＾＾
えーと、まあ、まずは自分の勉強から（＾＾
>第一点：古典確率論
”エルゴード定理”
http://math.tsukuba.ac.jp/~akiyama/index_j.html
秋山茂樹 筑波大・数理物質系・数学域
http://math.tsukuba.ac.jp/~akiyama/LectNotes.html
解説 講究録など
http://math.tsukuba.ac.jp/~akiyama/papers/proc/Ergode.pdf
解説 エルゴード理論と数論 数学セミナー７月号(2014) の原稿
(抜粋)
3 エルゴード定理
一般に測度論的力学系(X, T, μ) が与えられた時、T-不変な可測集合つま
りT??1(A) = A を満たす集合が空集合またはX 全体しかないときエルゴー
ド的と呼ばれる。定義は少し分かりにくいがT の軌道がX の全体に広がっ
て一つの系をなすという意味である。
これまでに挙げた３つの数
論的な例は全てエルゴード的となることが証明できる。バーコフの個別エル
ゴード定理はエルゴード理論の基本定理で、次の事を主張する。
定理1. (X, T, μ) がエルゴード的ならば、任意の可測関数f に対して
lim {N→∞}1/NΣ{n=0〜N-1}f(T^n(x)) =∫{X}fdμ
が測度0 の例外を除いてすべての点x で成り立つ。
(引用終り)
つづく
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