[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む35 [無断転載禁止]©2ch.net (667ﾚｽ)
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282(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/30(金)21:08 ID:INb7Gqhx(9/26)調 AAS
>>281 つづき
付加構造を持つ集合体
完全加法族と可測空間
ある集合 X 上の有限加法族 F は、それが可算和・可算交に関して閉じているとき、完全加法族と呼ばれる。このとき、集合体 (X, F) は可測空間と呼ばれ、可測空間の複体は可測集合と呼ばれる。
測度空間とは、三つ組 (X, F, μ) であって、μ が可測空間 (X, F) 上の測度であることをいう。μ が確率測度であるときには、測度空間を確率空間、その底にある可測空間を標本空間と呼ぶ。
標本空間の点は標本と呼ばれ、可能性のある結果を表していると同時に、可測集合（複体）は事象と呼ばれ、確率を割り当てることによって結果の性質を表現していると考えられる（標本空間と言う用語は単に可測空間の底集合の意味で用いられることも多い。
任意の部分集合が事象である場合にはなおさらである）。 測度空間や確率空間はそれぞれ測度論や確率論において基本的な役割を果たす。
つづく
283(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/30(金)21:09 ID:INb7Gqhx(10/26)調 AAS
>>282 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%8A%A0%E6%B3%95%E6%97%8F
完全加法族
数学における完全加法族（かんぜんかほうぞく、英: completely additive class [of sets]）、可算加法族（かさんかほうぞく、英: countably additive class [of sets]）あるいは (σ-)加法族、σ-集合代数（シグマしゅうごうだいすう、英: σ-algebra [of subsets over a set]）、σ-集合体（シグマしゅうごうたい、英: σ-field [of sets]）[注 1]は、
主な用途として測度を定義することに十分な特定の性質を満たす集合の集まりである。特に測度が定義される集合全体を集めた集合族は完全加法族になる。
この概念は、解析学ではルベーグ積分に対する基礎付けとして重要であり、また確率論では確率の定義できる事象全体の成す族として解釈される。完全加法族を接頭辞「完全」を付けずに単に「加法族」と呼ぶことも多い（つまり、有限加法族の意味ならば接頭辞「有限」を省略しないのがふつう）ので注意が必要である[1]。
集合 X 上の完全加法族の定義は「集合 X の部分集合からなる族 Σ であって、可算回の合併、交叉と補演算という集合演算について閉じていて、合併についても交叉についても単位元を持つようなもの」である。
集合 X 上の σ-集合代数の定義は「X の部分集合の空でない族 Σ で、X 自身を含み、補集合を取る操作（補演算）および可算な合併に関して閉じているもの」である。
即ちこれは、有限加法族あるいは集合代数であって[注 2]、かつその演算を可算無限回まで含めて順序完備（英語版）化したものになっている。集合 X とその上の完全加法族 Σ との対 (X, Σ) は可測空間と呼ばれる集合体になる。
例えば X = {a, b, c, d} とすると、X 上の完全加法族となる集合族の一つは
Σ = {??, {a, b}, {c, d}, {a, b, c, d}?}
で与えられる。
より有用な例は、実数直線の部分集合族で、全ての開区間から始めて、それらの可算合併・可算交叉・補演算を取ることをそれらの演算がすべて閉じるようになるまで繰り返して（つまり、開区間を全て含む最小の完全加法族）得られる完全加法族である。得られた完全加法族はボレル σ-集合代数と呼ばれる（ボレル集合の項を参照）。
つづく
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